bonsoir permettez moi de vous répondre.

u(n+1)=1+(1/u(n)) avec n entier naturel et u0=1
1) montrer que pour tout n : 1=<u(n)=<2  
OK. vous l'avez montré par recurrence

simplement une précision:

u1=1+1/1=2 et uo=1 on voit bien que 1<=u1<=2

suposons 1=<u(n)=<2

et considérons la fonction f(x)=1+1/x
f est décroissante car f'(x)=-1/x²<0

donc en penant l'mage par f de chaque membre de 1=<u(n)=<2
on obtient du que f est décroissante:

f(2)<=f(u(n))<=f(1)

f(2)=1+1/2=3/2>1
et f(1)=1+1/1=2
donc 1<=f(u(n))<=2

donc 1<=u(n+1)<=2  car u(n+1)=f(u(n))

voila pour la récurence.


2) montrer que la suite (u(2n)) est décroissante et que (u(2n+1)) est
croissante.

considérons fof(x)=f(1+1/x)=1+1/(1+1/x)=(1+2x)/(1+x)

(fof)'(x)=1/(1+x)²>0

donc fof est croissante.

comme u2(n+1)=fof(u(2n))

on va montrer que en fait u(2n) est croissante par récurence et vous
avez raison l'énoncé est faut.

remarquez que:
uo=1
u1=2
u2=3/2=1,5>u0
u3=5/3<u1
u4=8/5>u2

on voit bien que u(2n) est croissante et que u(2n+1) est décroissante.
Montrons le par récurence.

on a vu que u2(n+1)=fof(u(2n))

supposons que u(2(n+1))>u(2n)

il faut montrer que u(2(n+1)+2)>u(2n+2)?

prenons l'image par fof de chaque membre de l'inégalité

u(2(n+1))>u(2n)

comme fof est croissante on conserve le sens de l'inégalité:

fof(u(2(n+1))) >fof(u(2n))

comme fof(u(2(n+1)))=u(2(n+1)+2)
         et fof(u(2n))=u(2n+2)

donc:u(2(n+1)+2)>u(2n+2)

donc U(2n) est bien croissante.

vous montrerez aisemment que u(2n+1) est décroissante de la même manière
en considérant fof.



3) en deduire que les 2 suites precedentes convergent vers l0 et l1


u(2n) est croissante et majorée par 2 donc elle converge. soit l0 sa limite.

u(2n+1) est décroissante et minorée par 1 donc elle converge. soit l1 sa
limite.


4) montrer que l0 et l1 sont solution de l'equation x=1+1/(1+(1/x))
?en deduire l0 et l1 ?

u(2(n+1))=1+1/u(2n)=f(u(2n))

u(2n+3)=1+1/u(2n+1)=f(u(2n+1))

comme f(x)=1+1/x est continu sur [1,2] donc

limu(2n+2)=limf(u(2n))=u(lim(u(2n))

donc l0=f(l0)

de la même manière vous montrez que l1=f(l1)

donc l0 et l1 sont solution de x=f(x)=1+1/x

x²-x-1=0  x élément de [1,2]

D=1+4=5
l0=(1-rc(5))/2 ; rc() désigne la rcine carré.
l0 ne convient pas car l0=-0,615... n'appartient pas à [1,2]

l1=(1+rc(5))/2  remarquez que l1 est le nombre d'or.

l1=1,615... appartient à [1,2]  

5) montrer qu'alors la suite (u(n)) converge vers l=(1+(racine5))/2
.

On va montrer que les deux suites sont adjascentes.

u(2(n+1))-u(2n+1)=1+1/u(2n+1)-u(2n+1)
                                  = (1+u(2n+1)-u²(2n+1))/u(2n+1)

lim((1+u(2n+1)-u²(2n+1))/u(2n+1))=(1+l1-l1²)/l1=0
car l1 est solution de x²-x-1=0 .

donc lim(u(2(n+1))-u(2n+1))=0


les deux suites sont donc l'une croissantes et l'autre décroissante
avec lim(u(2(n+1))-u(2n+1))=0.

donc elles convergent en fait vers la même limite l1=(1+rc(5))/2.

soit e>0 comme limu(2n)=l1 et lim(u(2n+1)=l1

donc il existe No tel que
n>No implique  |u(2n)-l1|<e et |u(2n)-l1|<e

soit m élément de N tel que E(m/2)>No donc |u(2E(m/2))-l1|<e

comme m/2>E(m/2) ; en multipliant par2
m>2E(m/2)>2No>No |u(m)-l1|<e

en résumé on a montré que:

(qq soit e>0)(il existe No) tel que qq soit m :
m>No implique |u(m)-l1|<e

donc limu(n)=l1.


voila bon courage.

merci beaucoup pour votre aide c vraiment sympa de votre part

désolé il ya une faute dans:
4) montrer que l0 et l1 sont solution de l'equation x=1+1/(1+(1/x))
?en deduire l0 et l1 ?

u(2(n+1))=1+1/u(2n)=f(u(2n))

u(2n+3)=1+1/u(2n+1)=f(u(2n+1))

comme f(x)=1+1/x est continu sur [1,2] donc

limu(2n+2)=limf(u(2n))=u(lim(u(2n))

donc l0=f(l0)

de la même manière vous montrez que l1=f(l1)

donc l0 et l1 sont solution de x=f(x)=1+1/x

x²-x-1=0  x élément de [1,2]  

D=1+4=5  
l0=(1-rc(5))/2 ; rc() désigne la rcine carré.
l0 ne convient pas car l0=-0,615... n'appartient pas à [1,2]  

l1=(1+rc(5))/2  remarquez que l1 est le nombre d'or.

l1=1,615... appartient à [1,2]   "

en fait il faut considérer la solution comme suit:

4) montrer que l0 et l1 sont solution de l'equation x=1+1/(1+(1/x))
?en deduire l0 et l1 ?

u(2(n+1))=fof(u(2n))

u(2n+3)=fof(u(2n+1))

comme fof(x)=(1+2x)/(1+x) est continu sur [1,2] donc

limu(2n+2)=limfof(u(2n))=fof(lim(u(2n))

donc l0=fof(l0)

de la même manière vous montrez que l1=fof(l1)

donc l0 et l1 sont solution de
x=fof(x)=1+1/(1+1/x)=(1+2x)/(1+x)

ssi : x²-x-1=0  x élément de [1,2]  

D=1+4=5  
l0=(1-rc(5))/2 ; rc() désigne la rcine carré.
l0 ne convient pas car l0=-0,615... n'appartient pas à [1,2]  

l1=(1+rc(5))/2  remarquez que l1 est le nombre d'or.

l1=1,615... appartient à [1,2]  

merci bien