Niveau Lycéen curieux

suite récurrente

Posté par
kadile 12-10-21 à 16:30

Bonjour,

Démontrer par récurrence que pour tout n entier -1<= (-1)^n<=1
Ce pendant l'énoncé ne précise pas le premier terme.

Je considère la suite Un=(-1)^n et Uo=1
Soit P(n):-1<= (-1)^n<=1
Uo = 1 donc -1<=Uo<=1, vrai
Supposons P(n) vraie pour n fixé.
-1*(-1) >= (-1)^(n+1) >= 1*(-1)
1 >= (-1)^(n+1) >= -1
P(n) vraie au premier rang et est héréditaire donc P(n) vraie pour tout n entier.
Est-ce que j'avais le droit de définir la suite (Un).
Merci d'avance

Posté par re : suite récurrente 12-10-21 à 16:47

Bonjour kadile.
Oui, tu peux toujours tout définir dès lors que la rédaction est claire.
Mais là, ce n'est pas utile; tu peux te contenter de $P(n) : -1 \leq (-1)^n \leq 1$

P(0) est vrai.
soit $k\in \N$ quelconque.
supposons $P(n) : -1 \leq (-1)^k \leq 1$ vraie et montrons que $P(k+1) : -1 \leq (-1)^{k+1} \leq 1$ est vraie.

Tu multiplies alors tout par -1 dans P(k), tu réarranges, et le tour est joué.

Posté par re : suite récurrente 12-10-21 à 17:22

et montrons que P(k+1) : -1 \leq (-1)^{k+1} \leq 1 est vraie.

Oui, j'oublie toujours de la préciser.

Posté par re : suite récurrente 12-10-21 à 19:34

salut

ouais bof !!! on s'en doute de ce qu'il faut démontrer quand on fait un raisonnement par récurrence et qu'on a écrit proprement l'hypothèse de récurrence ...

si je sais écrire proprement P(k) je sais tout autant écrire P(k + 1) ...

Posté par re : suite récurrente 13-10-21 à 11:30

Oui, je suis d'accord avec toi mais peut être que ça aide pour le reste.
Ou du tout au moins l'écrire sur le brouillon ça servira pour le reste.