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Niveau Lycéen curieux
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Suite récurrente

Posté par
kadile
09-11-23 à 11:28

Bonjour,
U0=1 et U(n+1)=3-0,5Un
Dans un repère orthonormé reporter U0, U1, U2 et  U3 en abscisse.
Sans calcul, conjecturer si (Un) est bornée ou pas.
Démontrer par récurrence cette conjecture.

J'ai fait le graphique à la main  et je conjecture que 1 <= Un <= 3
J'ai fait le calcul de l'initialisation, l'hérédité et j'arrive à :
1 <= U(n+1) <= 3.

Mais la correction donne:
Conjecture: 1 <= Un <= 2.5
Hérédité: 1 <= U(n+1) <= 2,5

Repérer le 2,5  sur le graphique ce n'est pas évident.
La conjecture: 1 <= Un <= 3 est fausse ?

Posté par
Leile
re : Suite récurrente 09-11-23 à 12:33

bonjour,

tu as calculé U1, U2, U3
tu as dû trouver U1 = 2,5   (à positionner sur ton graphique).
Ensuite, chaque valeur se rapproche de 2, alternativement par valeur supérieure et par valeur inférieure.

Si tu calcules quelques valeurs de plus, tu pourras vérifier que U1 est le maximum. Aucun élément ne sera > 2,5.

Posté par
carpediem
re : Suite récurrente 09-11-23 à 13:14

salut

tu as fait une conjecture et tu l'as prouvée donc ta conjecture est exacte !!

tu remarqueras que si 1 < a < 2,5 alors 1 < a < 3 est vraie

on peux éventuellement te "reprocher" d'avoir été "grossier" dans ton encadrement (tu aurais pu aussi bien conjecturer 0 < a < 10 et c'est tout autant exact)

maintenant suivant la suite du pb ta conjecture peut être insuffisante pour poursuivre : avec 3 tu n'y arrives pas mais avec 2,5 on peut prouver ce qui peut être demandé ensuite



kadile @ 09-11-2023 à 11:28

Repérer le 2,5  sur le graphique ce n'est pas évident.
ben ça dépend de la taille de ton graphique : utilises-tu la totalité d'une feuille A4 ou simplement un carré de 2,5 * 2, 5 ? (auquel cas on n'y verra effectivement pas grand chose)

Posté par
kadile
re : Suite récurrente 09-11-23 à 16:43

A la première réponse de Leile j'ai vu que j'avais trouvé U1=2,5 mais je l'ai remplacé par 3 (j'avais la tête en l'air !)
C'était la dernière  question.

Posté par
kadile
re : Suite récurrente 09-11-23 à 16:47

Je reçois vos réponses comme "SPAM", pourquoi ?



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