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Niveau première
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Suite récurrente et somme

Posté par
clem20
31-12-20 à 23:45

Bonjour serait-il possible que vous m'aidiez à résoudre cet exercice de Mathématique sur les suites de première Spé ? J'essaie depuis plusieurs jours mais je n'y arrive pas.
Merci d'avance pour le temps que vous prendrez pour m'aider.

Soit U la suite définie par  U_0=5     et pour tout entier naturel n,  
                              U_n_+_1 = 0,5(U_n-n)+0,5

1. A l'aide de la calculatrice, conjecturer que la suite U est monotone à partir d'un certain rang. Préciser lequel.
    
      Je n'arrive pas à voir le rang sur la calculatrice, peut-être est-ce un problème d'échelle que j'ai mal fait.

2.On considère la suite V définie sur N par :
                              V_n=0,1(U_n-n)+0,5



a. Montrer que V est une suite géométrique de raison q=0,5. Exprimer alors V_n    en fonction de n.
  
J'ai  tenté de démontrer que V_n_+_1= q*V_n    mais j'ai du me perdre dans mon calcul car je n'obtiens pas q=0,5

b. En déduire que, pour tout n E N :

                                  U_n=10*0.5^n+n-5
      
      Evidemment sans la réponse précédente, je n'arrive à répondre à cette question.

c. Etudier le signe de U_n_+_1-U_n   . En déduire le sens de variation de la suite U.

     Je ne sais pas trop comment m'y prendre.

d. La suite ( U_n ) est-elle convergente ?

3. On souhaite calculer, pour tout entier naturel n, la somme
                                  
                    S_n= U_0+U_1+U_2+...+U_n

       Par calcul direct :
On remarque que, pour tout n E N, on a :

                      U_n=a_n+b_n
avec           a_n=10*0,5^n
et                b_n=n-5




a.  Quelles sont les natures des suites a et b ?
b. En déduire une expression explicite de S_n    en fonction de n.

Je vous remercie de nouveau pour le temps que prendrez pour m'aider avec cet exercice.  Bonne et Heureuse Année 2021

Posté par
azerti75
re : Suite récurrente et somme 01-01-21 à 00:29

Bonsoir,

Il n'y aurait pas un problème avec l'énoncé de la suite V;
j'obtiens V(0) = 1, V(1) = 0,7, V(2) = 9/20, donc elle n'est pas géométrique.

Sauf erreur de ma part ....

Posté par
clem20
re : Suite récurrente et somme 01-01-21 à 19:30

Je viens de vérifier sur le livre et non, il n'y a pas d'erreur,
La suite V  est bien :       V_n=0,1*(U_n-n)+0,5



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