Bonjour serait-il possible que vous m'aidiez à résoudre cet exercice de Mathématique sur les suites de première Spé ? J'essaie depuis plusieurs jours mais je n'y arrive pas.
Merci d'avance pour le temps que vous prendrez pour m'aider.

Soit U la suite définie par       et pour tout entier naturel n,  
                              

1. A l'aide de la calculatrice, conjecturer que la suite U est monotone à partir d'un certain rang. Préciser lequel.
    
      Je n'arrive pas à voir le rang sur la calculatrice, peut-être est-ce un problème d'échelle que j'ai mal fait.

2.On considère la suite V définie sur N par :
                              



a. Montrer que V est une suite géométrique de raison q=0,5. Exprimer alors     en fonction de n.
  
J'ai  tenté de démontrer que     mais j'ai du me perdre dans mon calcul car je n'obtiens pas q=0,5

b. En déduire que, pour tout n E N :

                                  
      
      Evidemment sans la réponse précédente, je n'arrive à répondre à cette question.

c. Etudier le signe de    . En déduire le sens de variation de la suite U.

     Je ne sais pas trop comment m'y prendre.

d. La suite ( ) est-elle convergente ?

3. On souhaite calculer, pour tout entier naturel n, la somme
                                  
                    

       Par calcul direct :
On remarque que, pour tout n E N, on a :

                      
avec          
et                




a.  Quelles sont les natures des suites a et b ?
b. En déduire une expression explicite de     en fonction de n.

Je vous remercie de nouveau pour le temps que prendrez pour m'aider avec cet exercice.  Bonne et Heureuse Année 2021