bonsoir

qu as tu essayer?

bonsoir cqfd,
j'ai essayé une démonstration par récurrence :
initialisation u₅ = (3/4)^-5*25/32
Supposons pour un n>ou=5 que U_n< =(3/4)^n-5U₅
U_n+1<ou = (3/4)^(n+1)-5
U_n+1< ou = (3/4)*(3/4)^n-5U₅
Je ne sais pas comment prouver l'hérédité par la suite...

Merci beaucoup pour tes éclaircissements

soit Pn la propriete Un<=(3/4)^(n-5)*U5

P5 est vraie

supposons Pn vraie et montrons P(n+1)

U(n+1)=(n+1)²/2^(n+1)
      =[n²+2n+1]/2^(n+1)
      =n²/2^n*[1+2n/n²+1/n²]/2
      =n²/2^n*[1+2/n+1/n²]/2

or si n>=5 2/n<=2/5 et 1/n²<=1/25

donc 1+2/n+1/n²<=1+2/5+1/25=36/25<3/2

donc d apres l hypothese de recurrence

U(n+1)<=(3/4)^(n-5)U5-3/2*1/2=(3/4)^(n+1-5)U5

La propriete Pn est hereditaire et P5 est vraie, la propriete Pn est vraie pour tout n>=5

merci beaucoup de ton aide


au petit b) on me demande de montrer pour tout n>=5:
Sⁿ<=[1+3/4+(3/4)²+...+(3/4)^n-5]U₅
je le fais en montrant que U₅<=(3/4)^5-5*U₅  U₆<=(3/4)^6-5*U₅  
donc S_n<=U₅[(3/4)⁰+(3/4)¹+...+(3/4)^n-5]
  Est-ce vrai?

ensuite je n'arrive pas à répondre au c)En déduire que pour n>=5, S_n<=4*U₅
je ne sais pas s'il faut simplement supposer que [1+(3/4)+...+(3/4)^n-5]

Merci encore