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suite Ts
Merci d'avance a ceux ki pouron m'aider ds cet exercice (qui me pose qq difficultés)...
On considère dans un plan (O,i,j) un carré ABCD.
On place les points A(1), B(1), C(1), D(1) tels que les vercteurs :
DA(1)=A(1)B(1)=B(1)C
où les points A1 et B1 appartiennent à [DC]. Le quadrilatère A1B1C1D1 étant un carré situé à l'extérieur de ABCD.
On continue par le mm procédé : un carré A(n)B(n)C(n)D(n)
on considère alors les points A(n+1), B(n+1), C(n+1), D(n+1)
tels que les vecteurs D(n)A(n+1) = A(n+1)B(n+1)= B(n+1)C(n)
Soit S(n) l'aire du carré A(n)B(n)C(n)D(n)
- Exprimer S(n+1) en fonction de S(n) puis de n.
- En déduire S(n) en fonction de n
bonjour mirtille
on faisant le meme raisonnement pour n=1
on arrive au fait que les points A(n+1) B(n+1) sont sur [D(n)C(n)]
S(n+1) est l'aire du carre A(n+1)B(n+1)C(n+1)D(n+1)
S(n)=[D(n)C(n)]²=[vecteur(D(n)C(n))]²=[vecteur(D(n)A(n+1)) + vecteur(A(n+1)B(n+1)) + vecteur(B(n+1)C(n)) ]²= D(n)A(n+1)² + A(n+1)B(n+1)² + B(n+1)C(n)²+ 2*vecteur(D(n)A(n+1)).vecteur(A(n+1)B(n+1)) + 2*vecteur(D(n)A(n+1)).vecteur(B(n+1)C(n)) + 2*vecteur(A(n+1)B(n+1)).vecteur(B(n+1)C(n))
du fait que les vecteurs D(n)A(n+1) = A(n+1)B(n+1)= B(n+1)C(n) et que S(n+1)=A(n+1)B(n+1)² on a :
S(n)=3*S(n+1) + 2*vecteur(D(n)A(n+1)).vecteur(A(n+1)B(n+1)) + 2*vecteur(D(n)A(n+1)).vecteur(B(n+1)C(n)) + 2*vecteur(A(n+1)B(n+1)).vecteur(B(n+1)C(n))
on utilise toujours le fait que les vecteurs D(n)A(n+1) = A(n+1)B(n+1)= B(n+1)C(n)
S(n)=3*S(n+1) + 2*S(n+1) + 2*S(n+1) + 2*S(n+1) = 9*S(n+1)
donc S(n+1)=(1/9)*S(n)
(faudra quand meme verifier si ca marche pour n=0)
S est donc une suite geometrique de raison 1/9 et de premier terme S(0)=aire de carre ABCD.
donc pour tout n dans N S(n)=(1/9)^n * S(0)
a verifier.
a+
je me suis encore complique la vie pour rien :
a partir de
S(n)=[D(n)C(n)]²=[vecteur(D(n)C(n))]²=[vecteur(D(n)A(n+1)) + vecteur(A(n+1)B(n+1)) + vecteur(B(n+1)C(n)) ]²
on utilise l'egalite des 3 vecteurs et donc
S(n)=[3*vecteur(A(n+1)B(n+1)]²=9*A(n+1)B(n+1)²=9*S(n+1)
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