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suite Ts au secours

Posté par trougnouc (invité) 10-09-04 à 20:50

Je n'y arrive pas quelqu'un peut m'aider?
1 Comparer 2 puissance n et n au carre pour differentes valeurs de n
2 résoudre l'équation 2(nau carre)supérieur ou égal (n+1) au carre
3 démontrer par récurrence que pour tout n strictement supérieur à 3: 2puissance nsupérieur ou égal n au carré
4 Pour quelles valeurs de n a t'on 2puissance n supérieur ou égal à nau carré


MERCI MERCI MErci de votre aide

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : suite Ts au secours 11-09-04 à 11:09

2)
2n² >= (n+1)²
2n² >= n² + 2n + 1
n² >= 2n + 1
n² - 2n - 1 >= 0
(n - (1+V2))(n - (1-V2)) >= 0 avec V pour racine carrée.

n dans [-oo ; 1-V2] U [1+V2 ; oo[ convient.
-----
3 et 4)
Supposons que pour n = k, on ait 2^n >= n²
-> on a alors: 2^k >= k²
2* (2^k) >= 2k²
2^(k+1) >= 2k²

Or si k > 3, on a: 2k²>= (k+1)² (cela a été démontré dans le 2°)

2^(k+1) >= 2k²
et a fortiori: 2^(k+1) >= (k+1)² si k >= 3
Or ceci est la relation 2^n >= n² dans laquelle n = k+1.

On a donc montré que si la relation 2^n >= n²est vraie pour n = k, elle est encore vraie pour n = k+1.  (1)

On vérifie que 2^n >= n² est vraie pour n = 4:
2^4 >= 4²
16 >= 16 -> OK.

La relation 2^n >= n²est vraie pour n = 4 et donc par (1), elle est vraie aussi pour n = 5.
La relation 2^n >= n²est vraie pour n = 5 et donc par (1), elle est vraie aussi pour n = 6.
Et ainsi de proche en proche, la relation 2^n >= n²est vraie pour tout n de N strictement supérieur à 3.
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