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suites

Posté par jimmy (invité) 28-05-04 à 16:07

Bonjour voici deux questions sur les suites que je n'arrive
pa a resoudre.
Soit Un=(1*3*5*....*(2n-1))/(2*4*6*.....*(2n)
Vn= (2*4*6*..(2n))/(3*5*7*....*(2n+1)
1)Demontrer que (Un) est decroissante et en qu'elle converge vers un reel
l
j'ai essaye de faire soit Un+1-Un et Un+1/Un mais je dois mal appliquer
cela
2)Demontrer que (Vn) est decroissante et en qu'elle converge vers un reel
l
merci beaucoup de votre aide et excusez moi pour le message de tout a l'heure

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : suites 28-05-04 à 16:50

U(n)=(1*3*5*....*(2n-1))/(2*4*6*.....*(2n)  

U(n+1)=(1*3*5*....*(2(n+1)-1))/(2*4*6*.....*(2(n+1))
U(n+1)=(1*3*5*....*(2n+1)/(2*4*6*.....*(2n+2))

U(n+1) / U(n) = 2n(2n+1)/[(2n+1).(2n+2)]
U(n+1) / U(n) = 2n/(2n+2)
U(n+1) / U(n) = n/(n+1)
U(n+1) / U(n) < 1
U(n+1) < U(n)
Et donc la suite Un est décroissante.

U(n)=(1*3*5*....*(2n-1))/(2*4*6*.....*(2n)
Les dénominateur et numérateur de U(n) sont > 0 -> U(n) > 0 quel que
soit n.

La suite Un est décroissante et minorée, elle est donc convergente.
-----
V(n)= (2*4*6*..(2n))/(3*5*7*....*(2n+1)  

V(n+1)= (2*4*6*..(2(n+1)))/(3*5*7*....*(2(n+1)+1)  
V(n+1)= (2*4*6*..(2n+2))/(3*5*7*....*(2n+3)

V(n+1) / V(n) = (2n+1).(2n+2)/[(2n+2)(2n+3)]
V(n+1) / V(n) = (2n+1)/(2n+3)
V(n+1) / V(n) < 1
V(n+1) < V(n)
Et donc la suite Vn est décroissante.

V(n)= (2*4*6*..(2n))/(3*5*7*....*(2n+1)
Les dénominateur et numérateur de V(n) sont > 0 -> V(n) > 0 quel que
soit n.

La suite Vn est décroissante et minorée, elle est donc convergente.
-----
Sauf distraction.    

Posté par Guillaume (invité)re : suites 28-05-04 à 16:53

u(n+1)/un est la solution, tout se simplifie !
idem pour Vn
dans les deux cas tu compares le rapport à 1.

suites decroissantes minorées (par 0 par exemple) convergent.

A+

Posté par jimy (invité)suites 29-05-04 à 15:38

Bonjour voici un exercice  sur les suites que je croyais pouvoir
resoudre mais il s'est averer le contraire.  
Soit Un=(1*3*5*....*(2n-1))/(2*4*6*.....*(2n)  suite decroissante et convergente
vers l et Vn= (2*4*6*..(2n))/(3*5*7*....*(2n+1)  suite decroissante
et convergente vers l'
On considere Wn=Un*Vn
a)Compte tenu de la convergence de Un et Vn que peut on en conclure pour (Wn)?
b)Dterminer l'expression de Wn en fonction de n je trouve mais je sais pas
si c'est juste:Wn=((2n-1)*2n))/(2n)/(2n+1)=(2n-1)/(2n+1) et
en deduire l'egalite l*l'=0
c)Demontrer que pour tout entier n superieur ou egale a 1 on a Un inferieur a
Vn.En deduire que l=0
d)Demontrer que pour tout entier n superieur ou egale a  1 on a
2*Un+1 plus grand que Vn en deduire l'inegalite 2*l superieur ou egale
a l' et conclure
j'espere que je n'abuse pas de votre aide car ces questions sont trop
balezes pour moi a 2 semaines du bac
merci


** message déplacé **

Posté par Emma (invité)re : suites 29-05-04 à 15:54

Salut jimy !

Si (Un) converge vers l et si (Vn) converge vers l', alors (Un*Vn)
converge vers (l*l').

Par contre, pour le calcul de Wn, il me semble que, puisque (2*4*...*2n)
est à la fois le numérateur de Un et le dénominateur de Vn, cette
quantité se simplifie lors de la multiplication de Un par Vn.
Donc Wn = [1*3*...*(2n-1)]/[3*5*...*(2n-1)*(2n+1)]
Et là, il me semble que tu peux simplifier par 3, par 5... par (2n-1)
Et donc il reste A au numérateur et (2n+1) au dénominateur.

Sauf erreur, je trouve donc que Wn = 1/(2n+1)
Auquel cas, tu devrais pouvoir conclure aisément que l*l'=0

Posté par Emma (invité)re : suites 29-05-04 à 16:03

Pour ce qui est de Un<Vn, j'étais bien tentée de montrer que
Un/Vn<1 ou de faire un produit en croix (parce qu'il y a beaucoup
de produits dans la définition même des suites)
Mais finalement, tu devrais arriver à tes fins en calculant Vn-Un et en
montrant que c'est positif...

De là, puisque l*l'=0, c'est que l=0 ou l'=0
Mais puisque pour tout n, Un<Vn, à la limite, tu obtiens l<l'
Donc nécessairement, l=0

Pour la question d, c'est 2*U(n+1) ? Si oui, la méthode de la question
c doit marcher encore.

Bon courage !

Posté par Roger (invité)suite et inegalite 30-05-04 à 14:48

Bonjour voici 1 question qui est difficile pour moi
Soit Un=(1*3*5*....*(2n-1))/(2*4*6*.....*(2n)
et    Vn= (2*4*6*..(2n))/(3*5*7*....*(2n+1)
pour tout n superieur ou egale a 1 montrer que Vn >Un
merci beaucoup

** message déplacé **

Posté par
Belge-FDLE
Raisonnement par récurrence 30-05-04 à 15:32

Salut Roger,

Je pense qu'il faut ici raisonner par récurrence :
Pour cela il faut tout d'abord exprimer les suites par récurrence
. On remarque que :

u1=1/2
un+1=un * (2(n+1)-1)/(2(n+1)
soit un+1=un * (2n+1)/(2n+2)

et

v1=2/3
vn+1=vn * (2(n+1))/(2(n+1)+1)
soit vn+1=vn * (2n+2))/(2n+3)

Il faut déjà remarquer que v1>u1.
Ensuite, comparons les "raisons" (même si on peut pas les appeler comme
ça, mais bon on se comprend ) de ces suites que j'appelle
:

Uq = (2n+1)/(2n+2)

et

Vq = (2n+2))/(2n+3)

Comme je l'ai dit auparavant, comparons ces "raisons" :

   Uq-Vq
= (2n+1)/(2n+2) - (2n+2))/(2n+3)
= [(2n+1)(2n+3) - (2n+2)(2n+2)] / [(2n+2)(2n+3)]

Le dénominateur est positif (produit de deux sommes de nombres entiers
naturels)
Le signe de cette soustraction dépend du numérateur et non du dénominateur,
on peut donc restreindre notre "comparaison" à l'étude du
numérateur. Reprenons :

  (2n+1)(2n+3) - (2n+2)(2n+2)
=(4n2+8n+3) - (4n2+8n+4)
=-1

La soustraction Uq-Vq est négative donc pour tout n E N, on a bien :

Vq > Uq.

On avait auparavant que les premiers termes de chacunes des suites étaient
telles que :

v1 > u1

Il est donc clair que pour tout n E N et supérieur ou égal à 1, on a
bien :
vn > un

(u1 plus petit multiplié par plus petit nombre donne plus petit que v1
qui est plus grand et qui est multiplié par un plus grand nombre.
u2 sera donc plus petit que v2 et il sera multiplié par un plus petit
nombre que le sera v2, donc u3<v3 etc.....  indéfiniment )

Voilà.
À +





** message retrouvé **

Posté par
Belge-FDLE
Raisonnement par récurrence 30-05-04 à 15:41

Salut,
Bon d'abord Roger dsl mais tu prends la tête . C'est le problème
des messages doubles : le temps que je réponde sur ton topic, un
modérateur a supprimé ton topic donc quand j'ai posté plus de
topic, donc plus mon post non plus que je suis bon pour retaper en
entier MDRRRRR . Bon essaie de vérifier les topic avant de poster
plz. Thx d'avance .
Alors je recommence mon raisonnement :

Je pense qu'il faut ici raisonner par récurrence :
Pour cela il faut tout d'abord exprimer les suites par récurrence
. On remarque que :

u1=1/2
un+1=un * (2(n+1)-1)/(2(n+1)
soit un+1=un * (2n+1)/(2n+2)

et

v1=2/3
vn+1=vn * (2(n+1))/(2(n+1)+1)
soit vn+1=vn * (2n+2))/(2n+3)

Il faut déjà remarquer que v1>u1.
Ensuite, comparons les "raisons" (même si on peut pas les appeler comme
ça, mais bon on se comprend ) de ces suites que j'appelle:


Uq = (2n+1)/(2n+2)

et  

Vq = (2n+2))/(2n+3)

Comme je l'ai dit auparavant, comparons ces "raisons" :

   Uq-Vq
= (2n+1)/(2n+2) - (2n+2))/(2n+3)
= [(2n+1)(2n+3) - (2n+2)(2n+2)] / [(2n+2)(2n+3)]

Le dénominateur est positif (produit de deux sommes de nombres entiers
naturels).
Le signe de cette soustraction dépend du numérateur et non du dénominateur,
on peut donc restreindre notre "comparaison" à l'étude du
numérateur. Reprenons:

  (2n+1)(2n+3) - (2n+2)(2n+2)
=(4n2+8n+3) - (4n2+8n+4)
=-1

La soustraction Uq-Vq est négative donc pour tout n E N, on a bien :


Vq > Uq.

On avait auparavant que les premiers termes de chacunes des suites étaient
telles que :

v1 > u1

Il est donc clair que pour tout n E N et supérieur ou égal à 1, on a
bien :
vn > un

(u1 plus petit multiplié par plus petit nombre donne plus petit que v1
qui est plus grand et qui est multiplié par un plus grand nombre.
u2 sera donc plus petit que v2 et il sera multiplié par un plus petit
nombre que le sera v2, donc u3<v3 etc.....  indéfiniment )

Voilà.
À +  

Posté par
Océane Webmaster
re : suites 30-05-04 à 15:49

Bonjour Belge*FDLE

Lorsque ce genre de problème arrive, ton message n'est pas perdu, il
n'est simplement pas affiche, il faut alors déposer une plainte
auprès des webmasters lol

Désolée que tu aies tout retapé

Posté par
Belge-FDLE
Qques fautes de frappes 30-05-04 à 15:50

Re-salut,
En fait, en copian-collant mon ex-message (oui je me le suis pas retapé
en entier, belge et blond mais pas stupide ), il y a eu disparition
des indices et exposants don il faut lire dans mon dernier message
:

4n2  ==> 4n2
un+1 ==> un+1

Voilà je pense que c'est tout
À plus

Posté par
Belge-FDLE
Pas grave Océane 30-05-04 à 15:55

Bonjour Océane,
Pas grave du tout pour mon message . C'était à moi de savoir comment
fonctionnait le forum et que je pouvait demander aux admins de remettre
mon message. Et puis, comme je l'ai précisé dans mon dernier
message, j'ai eu la bonne idée de copier le message (même s'il
n'était pas en BBcode à ce moment là ce qui a posé les pb que
je corrige dans mon dernier post). Enfin, bon, bref, c'est pas
grave du tout .

À +



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