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suites

Posté par KENZAm (invité) 31-10-04 à 20:41

bonjour j'aurai besoin d'aide sur un sujet de bac qui est tombé à LA REUNION en 1988:
soitun réel tel que 0/2. La suite (Un)est définie par U0=2coset U(n+1)=(2+Un) pour tout entier naturel n.
1.Calculer les trois premiers termes de la suite en fonction de .(on rapelle que,pour tout réel x,on a cos 2x=2cos[/sup]2x -1)
2.Montrer, par récurrence,que pour tout entier naturel n,on a: U[sub][/sub]n=2cos(/2[sup]n)
3.Soit (Vn) la suite définie,pour tout entier naturel n,par Vn=/2[sup][/sup]n.
Déterminer la limite de la suite(Vn).
4.En déduire que(Un) est convergente;quelle est sa limite?

VOILA j'aimerai bien que vous m'aidez car j'ai bien compris le cours j'arrive à faire les exos sur les suites mais celui la il me parait plus difficile , si vous pouviez m'expliquer ce serait gentil.Merci d'avance.

Posté par KENZAm (invité)MéLANGE DE SUITES ET DE NOMBRES COMPLEXES 31-10-04 à 21:05

Bonjour, j'aurai besoin d'aide sur un sujet bac:
1.a.Soit (r[/sub]n)[sub]n,la suite géométrique réelle de premier terme r[/sub]0 strictement positif et de raison 2/3.Exprimer r[sub]n en fonction de r[/sub]0 et de n.
b.Soit ([sub]n)[/sub]n,la suite aritmétique réelle de premier terme [sub]0 appartient à l'intervalle[0;.Exprimer [/sub]n en fonction de [sub]0 et de n.
c.Pour tout entier naturel n,on pose z[/sub]n=r[sub]n(cos[/sub]n+isin[sub]n).Sachant que z[/sub]0,z[sub]1,z[/sub]2 sont liés par la relation z[sub]0z[/sub]1z[sub]2=8,déterminer le module et un argumentde z[/sub]0,z[sub]1,z[/sub]2.
2.Dans le plan complexe P muni d-un repère orthonormal direct(0;,) (unité graphique:4cm), on appelle M[sub]n le point d'affixe z[/sub]n.
a.Placer les points M[sub]0,M[/sub]1,M[sub]2 et M[/sub]3 dans le plan P.
b.Pour tout entier naturel n,calculer||vecteurM[sub]nvecteurM[/sub]n+1|| en fonction de n.
C. On pose l[sub]n=||vecteurM[/sub]kvecteurM[sub]k+1||
(somme avec n et k=0)
Calculer l[/sub]n en fonction de n et déterminer la limite de l[sub]n quand n tend vers+.
j'aurai bien besoin de vous car j'ai bien essayer mais à partir de placer les points j'y arrive pas ,c 'est surement que j'ai du faire faux avant,merci d'avance.

Posté par KENZAm (invité)sur mélange de suites et de nbres complexes 31-10-04 à 21:09

j'ai oublier d'écrire l'intervalle ,soit que [sub][/sub]n appartenant à l'intervalle [0;/2[

Posté par
muriel Correcteurre : suites 31-10-04 à 22:39

bonsoir ,
tu n'aurais pas du poser de problème l'un derrière l'autre

je t'aide pour le 1er, le 2ème on verra plus tard .

remarque: il existe une touche sur ton clavier pour faire ² (en dessous de Echap)
sinon, quand tu as une puissance, tu peux mettre ceci ^ pour signaler que la suite se trouve "en haut "
c'est plus facile à comprendre, car nous n'avons pas ton exercice sous les yeux

remarque en passant: tu sais que se trouve entre 0 et \pi/2
donc cos() est positif
ainsi que pour toute valeur de n dans IN,
cos(/n) est positif


1)
je te laisse faire
en réécrivant ce que tu as voulu dire:
on rapelle que,pour tout réel x,on a cos(2x)=2cos²x -1


2)
Montrer, par récurrence,que pour tout entier naturel n,on a: u_n=2cos(/2^n)

comment fonctionne le raisonnement par récurrence?
on montre que c'est vraie pour la 1ère valeur de n
ici: n=0, on a u_0=2cos()
et 2cos(/2^0)=2cos()
donc c'est vérifier

ensuite, on suppose que pour un n donné, on a:
u_n=2cos(/2^n)
et on montre que
u_{n+1}=2cos(/2^{n+1})
comme je l'ai dit précédement, u_n est positif, donc on peut à fortiori, 2+u_n est positif
u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}=\sqrt{2+2cos(\theta/2^n)}
par hypothèse de récurrence

or:
2(1+cos(\theta/2^n))=4cos^2(\theta/2^{n+1}
(d'après la propriété que tu as donné)
d'où
u_{n+1}=2cos(\theta/2^{n+1})

donc tu as bien pour tout n dans IN,
u_n=2cos(/2^n)

3)
Soit (Vn) la suite définie,pour tout entier naturel n,par ^v_n=\theta/2n.
Déterminer la limite de la suite(v_n).

tu sais que lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n}=0
et donc on a:
lim_{n\to +\infty}v_n=0

4.En déduire que(Un) est convergente;quelle est sa limite?

je te dirais simplement que la fonction cosinus est continue, donc
lim_{n\to +\infty}u_n=lim_{n\to +\infty} cos(v_n)=lim_{x\to 0}cos(x)=...

à toi de jouer

Posté par KENZAm (invité)merci beaucoup 02-11-04 à 06:56

merci beaucoup mais j'arrive pas à comprendre comment on passe de 2(1+cos(/2[/sup]n) à 4cos[sup]2(/2[sup][/sup](n+1))
et pour la première kestion moi je trouve par exple U[/sub]2=(2+(2+2cos))
j'arrive pas à utiliser la formule donnée
et juste pour vérification pour la dernière kestion
lim U[sub]n=lim 2cos(V[/sub]n)
comme limV[sub]n=limcosx=1
on peut dire que limU[sub][/sub]n=2 est ce que c'est ca?
MERCI  D'avance

Posté par
muriel Correcteurre : suites 02-11-04 à 11:11

bonjour ,
je te rappelle ta formule, car je vais en avoir besoin:
cos(2x)=2cos²(x)-1
c'est à dire: 2cos²(x)=cos(2x)+1
donc on a pour tout x: 2cos²(x/2)=cos(x)+1 (*)
ok?

prenons dans l'ordre:
u_0=2cos(\theta)
u_1=\sqrt{2+2cos(\theta)}=\sqrt{2(1+cos(\theta))}
=\sqrt{4cos^2(\theta/2)} d'après la formule (*) avec x=\theta
=2cos(\theta/2)

maintenant:
u_2=\sqrt{2+2cos(\theta/2)}
tu procède de la même manière que pour u_1 en utilisant la formule (*) pour x=\theta/2

ensuite, tu ne comprends pas ceci:
2(1+cos(\theta/2^n) = 4cos^2(\theta/2^{n+1})

(tu n'as pas écouté mes recommandation, mais des ^ pour signaler que c'est à la puissance, je ne peux pas le deviner:
2^n, je le lis 2^n, mais 2n, je lis 2\time n
compris? )

j'ai utilisé ta formule (*) avec x=\theta/2^n


enfin, pour la limite:
limVn=limcosx=1
non, ce n'est pas juste
lim_{n\to+\infty} v_n=0
donc lim_{n\to+\infty} cos(v_n)=1
(la fonction cosinus est continue )
par contre, t'as limite de u_n est juste (désolée, j'avais oublié un 2 donc mon message )

as-tu compris maintenant?

Posté par KENZAm (invité)encore merci 02-11-04 à 15:48

oui c bon maintenant g compris merci beaucoup en fait j'arivais pas à comprendre la formule donné,merci encore c'est bien expliqué.
J'aurai encore besoin d'aide pour le 2ème exercerce qui est plus compliqué celui ci.Merci d'avance

Posté par
muriel Correcteurre : suites 02-11-04 à 17:39

pour ton 2ème exercice,
je te laisse faire le a, mais pour le b, il me faut la raison de (\theta_n) pour que je t'aide sur la suite de l'exercice
donnes moi-aussi tes résultats pour 1.a et 1.b (je pourrais voir si tu as juste )

Posté par KENZAm (invité)1a et 1b 02-11-04 à 18:26

au 1a j'ai trouvé r[/sub]n=r[sub]0*(2/3)^n
1b) [/sub]n=[sub]0+n2/3

Posté par
muriel Correcteurre : suites 02-11-04 à 18:52

donc je suppose que la raison de la suite arithmétique est 2\pi/3.

cherchons z_0, z_1 et z_2 en fonction de r_0 et \theta_0.
z_0=r_0\time e^{i\theta_0}
z_1=r_1\time e^{i\theta_1}
=\frac{2}{3}r_0\time e^{i(\theta_0+2\pi/3)}
z_2=r_2\time e^{i\theta_2}
=(\frac{2}{3})^2 r_0\time e^{i(\theta_0+4\pi/3)}

d'où z_0z_1z_2=....=8
tu peux identifier le module et l'argument, tu as ainsi r_0 et \theta_0
et tu en déduis r_1 (module de z_1) et r_2 (module de z_2)
ainsi que \theta_1 (argument de z_1) et \theta_2 (argument de z_2)


2.a) je te laisse faire le dessin

2.b)
que signifie ||\vec{M_nM_{n+1}}|| en fonction de M_nM_{n+1}
et en terme d'affixe?
tu devrais arriver à montrer que
||\vec{M_nM_{n+1}}||=r_n|\frac{2}{3}e^{i2\pi/3}-1|
=r_n|\frac{-4}{3}+i\frac{\sqrt{3}}{3}|
=r_n\frac{\sqrt{19}}{3}
(sauf erreur de ma part )

C.
tu veux ceci:
\sum_{k=0}^n ||\vec{M_nM_{n+1}}||
=\sum_{k=0}^n (r_n\frac{\sqrt{19}}{3})
=\frac{\sqrt{19}}{3}\sum_{k=0}^n r_n

or (r_n) est une suite géométrique donc tu devrais arriver à trouver sa somme

voilà, à toi de jouer

Posté par KENZAm (invité)SUITE 02-11-04 à 21:16

MERCI ALORS  si j'ai bien compris on devrait trouver z[/sub]0=3  ; z[sub]1=-1+i(3)  ; z[/sub]2=-2/3-(2(3)i)/3)
mais j'arrive pas à trouver la valeur de r[sub]n tout seul et celle de e^i0 je trouve seulement que r[/sub]0*e^in=3
et pour la question  2b j'ai pas compris car ca on la vu très rapidement en cours et la je comprends pas ,je trouve ke c'est égal à r[sub](n+1)e^(in+1) -r[/sub]ne^(in))
=r[sub]n(r[/sub]1e^(in+1) -e^(in))
=r[sub]n(2/3r[/sub]0*e^(in+1)-e^(in)
je pense que si j'y arive pas c'est pke je connais pas les valeurs de r[sub]n et de e^(in)
et pour la dernière question est ce qu'il faut faire la somme de rn * par 19/3?
MERCI D'AVANCE

Posté par KENZAm (invité)aidez moi 03-11-04 à 18:59

pouvez vous médé svp lexo est preske fini c juste ke g pa tro bien compri un truc svp

Posté par KENZAm (invité)une toute petite aide,merci d avance 03-11-04 à 21:14

svp c juste pour vérifier ce ke g écri é pour une toute petite aide sur cet exo , c la dernière, svp,j'en ai besoin je ve juste comprendre merci d'avance

Posté par
muriel Correcteurre : suites 03-11-04 à 22:40

bonsoir ,
tu sais, tu devrais apprendre la patience, on ne peux pas toujours être à la disposition des gens

pour ta question c, on ne demande pas z_0, z_1 et z_2 mais le module et l'argument de ces complexes

je tiens à signaler que je ne vois pas l'ensemble de définition de \theta_n
je le suppose [0,\pi/2]

en faisant les calucls, j'ai ceci:
z_0z_1z_2=(\frac{2}{3})^3r_0^3 e^{3i\theta_0}
donc \frac{2}{3}r_0=2
et
\theta_0=2k\pi/3 avec k un entier

d'où r_0=3
et
\theta_0=0 du fait de l'ensemble de définition

il reste plus que calculer les modules et argument de z_1 et z_2

et pour la question 2b j'ai pas compris car ca on la vu très rapidement en cours et la je comprends pas ,je trouve ke c'est égal à r(n+1)e^(i\thetan+1) -rne^(i\thetan))
=rn(r1e^(i\thetan+1) -e^(i\thetan))
=rn(2/3r0*e^(i\thetan+1)-e^(i\thetan)

pourquoi as-tu mis r1?

moi, je trouve ceci:
||\vec{M_nM_{n+1}}||=|z_{n+1}-z_n|
=|r_{n+1}e^{i\theta_{n+1}}-r_{n}e^{i\theta_{n}}|
=|\frac{2}{3}r_ne^{i(\theta_{n}+2\pi/3)}-r_{n}e^{i\theta_{n}}|
=r_n|e^{2i\pi/3}-1|
car r_n\ge 0
et |e^{i\theta_n}|=1

ce qui te permets de trouver le résultat que je t'ai donner

pour la dernière question, il suffit que tu fasse la somme que je t'ai donné, c'est à dire la somme de r_k=r_o(\frac{2}{3})^k pour k=0 à n

voilà

Posté par KENZAm (invité)re 03-11-04 à 23:18

slt merci je suis désolé pour les msg et merci de m'avoir répondu je pensais que vous m'avez oublié.
Je comprends pas un petit truc cmt on passe de (2/3)^3*r0^3*e^(i[/sub]0)
à dire que 2/3r[sub]0=2  et [sub][/sub]0=2k/3

Posté par
muriel Correcteurre : suites 03-11-04 à 23:28

pas de problème ,

tu sais que z_0z_1z_2=8
et d'après ce que j'ai écrit:
z_0z_1z_2=8=(\frac{2}{3})^3r_0^3e^{3i\theta_0}
donc le module de 8 et de (\frac{2}{3})^3r_0^3e^{3i\theta_0} sont égaux
ainsi que leur argument
d'où
(\frac{2}{3})^3r_0^3=8

3\theta_0=2k\pi avec k un entier

ainsi tu as:
(sachant que 2^3=8)
\frac{2}{3}r_0^3=2
et
\theta_0=2k\pi/3

voilà

Posté par KENZAm (invité)RE 03-11-04 à 23:37

dsl je c ke je dois etre gonflante mais je comprends pas ,é l'exponentiel i theta0 il passe où ds cette formule ac l'argument?

Posté par
muriel Correcteurre : suites 03-11-04 à 23:41

tu n'ai pas conflante, mais écris en français et sois plus explicite, car je n'ai pas comprise

Posté par
muriel Correcteurre : suites 03-11-04 à 23:44

par contre j'ai oublier d'effacer un cube dans mon copier et coller
donc il faut lire
\frac{2}{3}r_0=2
(et non \frac{2}{3}r_0^3=2)

Posté par KENZAm (invité)C GENTIL MERCI 03-11-04 à 23:46

EN FAIT G PAS COMPRIS  kan vou dite ke le modulede 8 et de z1z2z3 sont égaux ainsi ke l'argument ,kan vou dite (2/3)^3r0=8 j'aimerai bien savoir cmt on fé pour passer de la formule d'avant a celle ci , car avt il y avait e^ithéta et la il y é plu??

Posté par
muriel Correcteurre : suites 04-11-04 à 00:01

ok (même si ce n'est pas toujours pas du français, tu devrais essayer d'oublier le langage sms )

si tu cette propriété:
si z=z'
alors |z|=|z'| (les module sont égaux)
et arg(z)=arg(z')+2k\pi (les arguments sont égaux modulo \2pi)

ceci me permets de dire que le module de 8 et de (\frac{2}{3})^3r_0^3e^{3i\theta} sont égaux, ainsi que leur argument modulo 2\pi

d'accord?

quels sont les modules?
module de 8:
|8|=8
module de (\frac{2}{3})^3r_0^3e^{3i\theta}:
|(\frac{2}{3})^3r_0^3e^{3i\theta}|=|(\frac{2}{3})^3r_0^3|\time|e^{3i\theta}|
=(\frac{2}{3})^3r_0^3

ainsi: (\frac{2}{3})^3r_0^3=8

ok?

maintenant, passons à l'argument
arg(8)=0 modulo 2\pi
c'est à dire arg(8)=2k\pi

arg((\frac{2}{3})^3r_0^3e^{3i\theta})=3\theta modulo 2\pi

ce qui donne:
3\theta=2k\pi
c'est pour cela que je n'ai plus d'exponentielle

as-tu comprise maintenant?

Posté par KENZAm (invité)merci 04-11-04 à 00:38

MERCI ENCORE, c très gentil, é pour la dernière kestion on trouve r0*(2/3)^n *(19/3)

Posté par
muriel Correcteurre : suites 04-11-04 à 10:05

de rien
pour la dernière question, ce n'est pas ceci:

tu devrais savoir que
\sum_{k=0}^n a^k=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}
ici a=\frac{2}{3}
donc:
r_0\frac{\sqrt{19}}{3} \sum_{k=0}^^n (\frac{2}{3})^k=r_0\frac{\sqrt{19}}{3}\time\frac{1-(\frac{2}{3})^{n+1}}{1-\frac{2}{3}}=r_0\sqrt{19}(1-(\frac{2}{3})^{n+1}

voilà

Posté par KENZAm (invité)merci merci et encore merci 05-11-04 à 06:04

merci et pour calculer la limite de la dernière on pe pa car lim (1-(2/3)^(n+1)) est une forme indeterminé NON? car on va trouver linfini sur linfini pour lim(2/3)^(n+1) cmt on doit fère alor svp

Posté par
muriel Correcteurre : suites 05-11-04 à 14:00

s'il te plait force toi d'écrire en français, j'ai mis 10 minutes à lire: cmt on doit fère alor svp

tu dois savoir ceci:
si a est un réel tel que a > 1
lim_{n\to+\infty} a^n= \underline{+\infty}

si a est un réel tel que a = 1
lim_{n\to+\infty} a^n= \underline{1}

si a est un réel tel que -1 < a < 1
lim_{n\to+\infty} a^n= \underline{0}

si a est un réel tel que a = -1
il n'y a pas de limite
a^n=(-1)^n
=\{\begin{array}{cccccc}1& &si&n&est& pair\\-1& &si&n&est& impaire\\\end{array}

si a est un réel tel que a < -1
il n'y a pas de limite

avec ceci tu peux en déduire la limite

Posté par (invité)merci encore 06-11-04 à 19:00

je voulais vous remercier merci d'avoir pris le temps de m'expliquer , ca m'a beaucoup aidé merci encore, si j'ai encore  besoin d'aide j'aimerai bien que ca soit vous qui m'aidiez merci, au revoir .

Posté par
muriel Correcteurre : suites 06-11-04 à 19:55

cela fait plaisir de lire ce dernier message, mais je pense que d'autres correcteurs pourraient t'aider aussi bien que moi, voir mieux
à la prochaine

Posté par doomer (invité)re : suites 07-03-06 à 20:59

bonsoir !

j'ai le meme exercice a resoudre (le n°2 avec les complexes !! ) mai je n'arrive pas a comprendre l'explication dans le post de Muriel de 23 h 28 ! Quelqu'un pourrait -t- il m'expliquer pourquoi e^(3itéta) disparait ?


merci d'avance !!@+

Posté par doomer (invité)re : suites 07-03-06 à 22:23


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