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suites
Bonjour
Voila j'ai un exo sur les suites :
Soit (Un) la suite definie par Uo = -1 et par la relation de recurrence Un+1= (Un - 8) / ( 2Un - 9).
1) etudier rapidement la fonction f definie par f(x) = (x-8)/(2x-9)
J'ai trouvé : ensemble de definition R /(9/2)
Croissante sur R et impossible en (9/2).
Limitte en -infini = ½
En + infini = (1/2)
2) demontrer que la suite est bornée par -1 et 1
et la je sait pas vraiment comment faire ??????
si je calcul la limitte en + infifni j'ai (1/2) donc Un est inferieure à 1
mais pour Un superieure à -1 ????????????????
3) demontrer que la suite est croissante
a l'aide de la fonction f qui est croissante sur R et impossible en (9/2) mais ce nombre n'est pas entier donc Un est croissante.
4) demontrer que pour tout n appartenant à N : valeur absolue de (U(n+1) -1) inferieur à 1/7 de valeur absolue de (Un -1). Je vois pas comment faire ??????????????????
5) en deduire par recurrence que pour tout n de N : valeur absolue de (Un-1) inferieu à (1/7)^n * 2 je vois pas non plus ?????????????????
si vous avez une idée faites m'en part s'il vous plait ou si vous voyez des fautes dans mes raisonnements ??????????????????
Merci d'avance.
n'avez vous aucune idée au moins pour les questions 4 et 5 ????????
s'il vous plait donnez les????????
Bonjour,
2° Pour trouver qu'elle est bornée entre -1 et 1, il faut étudier le signe de f(x)-1 et f(x)+1
f(x)-1<0 => f(x)<1
f(x)+1>0 => f(x)>-1
et si la fonction est bornée, la suite est bornée (et pas réciproquement)
comment ça?? je vois pas le rapport avec cette egalité et les valeurs absolues?????
2. ATTENTION!!!!!
f(x) n'est pas bornée!!!!!
Il faut raisonner par réccurence sur l'entier n, sachant que u0=-1
5. par contre celle là n'est pas difficile. Raisonnement par récurrence:
a) d'après (4).
Or
donc
La récurrence est donc initialisée.
b) supposons que
alors, d'après (4):
donc:
et tu conclues....
4. pas par récurrence, j'ai fait le cas général, et d'après (1) un est bornée....
donc
donc
donc
et là tu dois pouvoir conclure la 4ème question, non?.
ok la 4 j'ai compris merci .
mais la recurrence pour la deux ? j'y reflechis encore???
2. Récurrence sur n:
a) u0=-1 donc OK
calcul de , donc -1 < u1 < 1.
b) Supposons que -1<un<1.
Alors
Or f est stable sur l'intervalle [-1,1] (c'ets ca qui est super important!), cad que l'image de cet intervalle I=[-1,1] par f est inclus dans I.
Donc appartient à I, cad
appartient à I.
Soit encore:
La proposition est alors vraie au rang (n+1)....
tu conclues la récurrence.
OK?
pour la 2
j'ai trouvé:
-9< Un-8 < -7
et -11< 2Un-9 <-7
et j'en ai conclu:
(9/11) <U(n+1)< 1
et donc -1 < Un < 1 .
Est ce bon??
oui ca revient au même, c bon, mais c tjs une récurrence, d'accord.
d'accord merci beaucoup pour tout j'espere pouvoir te rendre la pareille un jour
merci.
bonjour lili20000
pour la question 2): faites un raisonnement par récurrence.
Et utilisez la fait que f(-1)=9/11<1 et f(1)=1 et que f est croissante.
hypothèse de récuurence: -1<=Un<=1
puisque f est croissante prenez l'image par f de chaque membre et vous consevez le sens des inégalités.
3) votre raisonnement manque de logique.
étudiez le signe de la différence: (Un+1 - Un) et le fait que -1<=Un<=1.
4) calculez Un+1 - 1:
Un+1 - 1 = (Un - 8) / ( 2Un - 9) - 1
= (Un-8-2Un+9)/(2Un - 9)
=-(Un-1)/(2Un-9)
donc:
|Un+1 - 1|= |-(Un-1)/(2Un-9)|
= |-(Un-1)| / |2Un-9)|
= |(Un-1)| / |2Un-9)|
il faut montrer maintenant que: |2Un-9)|>7
vous avez -1<=Un<=1
donc -2<=2Un<=2
donc -9<=2Un-9<=-7
donc 2Un-9 est négatif. En passant à la valeur absolue il faut donc inverser les valeures absolues des bornes:
7<=|2Un-9|<9
donc 1/|2Un-9|<=1/7
donc:
|Un+1 - 1|<=(1/7)|Un-1|
5) par récurrence:
en utilisant |Un+1 - 1|<=(1/7)|Un-1| montrez que
|Un-1|<=2*(1/7)^n
bon courage
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