Bonjour à tous,

je me suis apercue que je me suis trompée en recopiant l'énoncé.

à la question 2 , il faut lire :
Montrer que fn+1(Un)= 2Un-1-Un²; en déuire que Un+1 strictement supérieur à Un.

merci d'avance de vos conseils

(je pense que cet exo est pour N*: si ce n'est pas le cas, tu arranges le tout, mais le raisonnement y est)
1) Montrer que la suite (Un) est majorée.
On te dit que Un est la solution dans R+ de fn(x)=0; pour x=0, fn(x)=-1, pour x=1 fn(x)=1, donc d'après le théroème des valeurs intermédiaires, il existe x appartenant à ]0,1[ vérifiant fn(x)=0; le x considéré étant Un, on obtient donc Un<1, donc (Un) est majorée.
2)D'après l'énoncé, fn(Un)=0, soit Un^n+Un-1=0, et donc U^n+1=-Un+2 (1).
De plus, fn+1(Un)=Un^(n+1)+Un-1=Un(Un^n+1)-1; d'après la relation (1), on a donc:
fn+1(Un)=Un(-Un+2)-1=-Un^2+2Un-1.
Ensuite, tu dérive fn(x) et tu obtiens une dérivée égale à n*x^(n+1)+1 qui est toujours positive sur ]0,1[, donc fn(x) est croissante sur ]0,1[.Quelque soit n appartenant à N, Un appartient à ]0,1[ ce qui est donc aussi le cas de Un+1: Un+1 est donc strictement positif. Pour que fn+1(Un) soit nul il faut que Un=-1+Racine(2) (tu étudies l'équation du second degré); or on peut restreindre l'intervalle où est compris Un pour fn(x)=0: en effet, pour x=1/2, fn(1/2)=(1/2)^n+1/2-1 toujours négatif pour n>1, donc quelque soit n, il appartient à ]1/2,1[: or -1+racine(2)<1/2, donc fn+1(Un) ne peut jamais être nul et pourtant fn+1(Un+1)=0, donc quelque soit n, tous les Un sont distincts. Tout ceci pour arriver à la conclusion que fn(Un)=0 et que fn(Un+1) est toujours STRICTEMENT négatif (facile à voir x^n+x-1 avec 0<x<1) avec Un et Un+1 appartenant à ]0,1[, donc puisque fn(x) est croissante sur ]0,1[, on a fn(Un+1)<fn(Un), d'où Un+1<Un.
3)Supposons lim Un=L>1: l'hypothèse est directement contradictoire car on a établi à la première question que Un appartient à ]0,1[. Si à présent nous supposons lim Un=L<1 alors ... A toi de continuer...
En espérant t'avoir aidé!

La dérivée n'est pas bonne, c'est n*X^(n-1)+1