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suites

Posté par rouks_42 (invité) 29-04-05 à 20:02

Bonjour tout le monde j'orais besoin d'aide svp,je deviens marteau.
On considère les suites ( $x_n$ ) et ( $y_n$ ) définies par $x_o$ =1, $y_o$ =8 et $\{{x_{n+1}=\frac{7}{3}x_n + \frac{1}{3}y_n + 1\atop y_{n+1}= \frac{20}{3}x_n + \frac{8}{3}y_n + 5}$ n
1.Montrer, par récurrence, que les points $M_n$ de coordonnées ( $x_n;y_n$ ) sont sur la droite () dont l'équation est $5x-y+3=0$ .
En déduire que $x_{n+1}=4x_n+2$ .
2.Montrer, par récurrence, que tous les $x_n$ sont des entiers naturels.
En déduire que tous les $y_n$ sont des entiers naturels.

Posté par re : suites 29-04-05 à 20:44

slt

le principe est le meme pour toute les recurrences ... je détaille pas ...

- $3$P_n:M_n\in\Delta$ $3$\Longleftrightarrow \textrm les coordonees de M_n verifie l'equation de la droite \Delta soit 5x_n-y_n+3=0$

- $3$P_0:M_0\in\Delta$ $3$\Longleftrightarrow \textrm les coordonees de M_0 verifie l'equation de la droite \Delta soit 5x_0-y_0+3=0$
$3$\textrm Or pout M_0, on a : 5x_0-y_0+3=5\times1-8+3=0 donc P_0 vraie et la proposition est initialisee en 0$

- $3$\textrm supposons P_n vraie pour un certain rang n ; montrons que la proposition est vraie au rang superieur$
$3$P_{n+1}:M_{n+1}\in\Delta$ $3$\Longleftrightarrow \textrm les coordonees de M_{n+1} verifie l'equation de la droite \Delta soit 5x_{n+1}-y_{n+1}+3=0$

$3$\textrm Or pout M_{n+1}, on a : 5x_{n+1}-y_{n+1}+3=5\times(\frac{7}{3}.x_n+\frac{1}{3}.y_n+1)-(\frac{20}{3}.x_n+\frac{8}{3}.y_n+5)+3$

et

$2$5\times(\frac{7}{3}.x_n+\frac{1}{3}.y_n+1)-(\frac{20}{3}.x_n+\frac{8}{3}.y_n+5)+3=\frac{35}{3}.x_n+\frac{5}{3}.y_n+5-\frac{20}{3}.x_n-\frac{8}{3}.y_n-5+3=5.x_n-y_n+3$

on a donc pour $3$\textrm M_{n+1} : 5x_{n+1}-y_{n+1}+3=5.x_n-y_n+3=M_n$

$3$\textrm or par hypothese de recurrence on a pour M_n: 5.x_n-y_n+3=0 et comme M_{n+1}=M_n on a bien 5.x_{n+1}-y_{n+1}+3=0$
$3$\textrm donc la proposition est hereditaire$

=> $3$\textrm Finalement la proposition etant initialise au rang n=0 et hereditaire elle est donc vraie pour n\in\mathbb{N}$

essaye de faire de meme pour la suite ...

@+ sur l'ile _ald_

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