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Suites

Posté par
lucie33 30-10-12 à 17:40

uo = 8 u(n+1) = Racine (Un+12)

Démontrer que pour tout n, Un > 4 (Celle la j'ai reussi par récurrence)

Démontrer que pour tout n, U(n+1) - 4 < 1/4 (Un-4)   Indice : Transformer U(n+1)-4 et proceder par majoration.
Je bloque ici svp, besoin d'une piste

Posté par
Glapion Moderateurre : Suites 30-10-12 à 18:50

Bonsoir, U_{n+1}-4=\sqrt{U_n+12}-4=\dfrac{(\sqrt{U_n+12}-4)(\sqrt{U_n+12}+4)}{\sqrt{U_n+12}+4}=\dfrac{U_n+12-16}{\sqrt{U_n+12}+4}=\dfrac{U_n-4}{\sqrt{U_n+12}+4}<\dfrac{U_n-4}{4}
(la racine au dénominateur est positive donc si on la remplace par 0, ça diminue le dénominateur et donc ça augmente la fraction)

Posté par
lucie33re : Suites 30-10-12 à 19:04

Merci de l'aide !

J'ai une autre question c'est : en déduire que pour tout n : Un - 4 < 1 / (4 puissance (n1))

Posté par
Glapion Moderateurre : Suites 30-10-12 à 19:19

L'inéquation U_{n+1}-4<\dfrac{U_n-4}{4} peut s'écrire pour tout n
donc si tu pars de U_{n}-4<\dfrac{U_{n-1}-4}{4}tu peux continuer et écrire que :
U_{n}-4<\dfrac{U_{n-1}-4}{4}<\dfrac{U_{n-2}-4}{4^2}<\dfrac{U_{n-3}-4}{4^3}<...<\dfrac{U_{0}-4}{4^n}
et comme \dfrac{U_{0}-4}{4^n}=\dfrac{8-4}{4^n}=\dfrac{4}{4^n}=\dfrac{1}{4^{n-1}} ça donne le résultat

Posté par
lucie33re : Suites 30-10-12 à 19:22

merci vraiment de votre aide, car j'ai passé beaucoup de temps à chercher, et je n'avais que des calculs abstrait, il me manqué effectivement quelque précision. Merci

Posté par
Glapion Moderateurre : Suites 30-10-12 à 19:24

il me manquait.


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