Niveau Reprise d'études-Ter

Suites

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ahl1700 27-07-16 à 23:43

Bonsoir à tous et merci pour votre aide.

Alors voilà le problème:
-on pose $(x_1;y_1)=(2;1)$ et on définit par récurrence la suite $(x_n;y_n)$ ainsi:
$(x_{n+1}; y_{n+1})=(2x_n+3y_n; x_n+2y_n)$ pour tout nombre entier n1.
On considère également la suite (Un) définie par Un= $\frac{x_n}{y_n}$ pour tout nombre entier n1.
Je tiens à prévenir que les suites ne sont pas trop mon fort.

1)Calculer $(x_2;y_2), (x_3;y_3), (x_4;y_4), (x_5;y_5)$ et $U_1, U_2,U_3, U_4$ .

$(x_2;y_2)=((2*2+3*1);(2+2*1))=(7;4)$

$(x_3;y_3)=((2*7+3*4);(7+2*4))=(26;15)$

$(x_4;y_4)=((2*26+3*15);(26+2*15)=(97;56)$

$(x_5;y_5)=((2*97+3*56);(97+2*56)=(362;209)$

$U_1=2$

$U_2=\frac{7}{4}$

$U_3=\frac{26}{15}$

$U_4=\frac{97}{56}$

Posté par re : Suites 28-07-16 à 00:26

bonsoir : )

Tu as bon et tu pouvais le vérifier seule à l'aide d'un tableur par exemple.

Posté par re : Suites 28-07-16 à 01:13

Sinon, pour ta culture, sache que l'on peut démontrer que $\forall n \geq 1, \begin{pmatrix}x_n \\ y_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{2}\left(\left(2 + \sqrt{3}\right)^n + \left(2 - \sqrt{3}\right)^n\right) \\ \frac{\sqrt{3}}{6}\left(\left(2 + \sqrt{3}\right)^n - \left(2 - \sqrt{3}\right)^n\right)\end{pmatrix} \text{ et } u_n = \sqrt{3}\coth\left(n\ln\left(2+\sqrt{3}\right)\right)$ .

Posté par re : Suites 28-07-16 à 08:34

Je garde cela dans un coin de ma tête.

2) Montrer par récurrence que $y_n>2^{n-1}$ pour tout nombre entier n>1.

Je suis pas très sûre de la suite.

$y_{n+1}> 2^{n+1-1}$

$y_{n+1}>2^n$

$y_{2+1}>2^2$

$15>4$

C'est cela qu'il fallait faire?

Posté par re : Suites 28-07-16 à 09:09

Non cela ne marche pas, il faut faire une récurrence donc vérifier pour la plus petite valeur de n demandée donc ici pour n = 2 (première valeur > 1)
y₂ = 4 donc y₂ > 2^{2 - 1}
La propriété est initialisée

Héréddité :
Il te faut montrer pour tout entier n > 1 que si y_n > 2^{n - 1} alors
y_{n + 1} > 2ⁿ
y_{n + 1} = x_n + 2 y_n
Là, on voit qu'il est pratique de démontrer que pour tout n, x_n 0 et y_n 0 donc il faut le démontrer par récurrence au début

x_n > 0 donc y_{n + 1} > 2 y_n 2 2^{n - 1}
donc y_{n + 1} > 2ⁿ
Si tu as des soucis regarde mon profil et envoie moi un mail pour des détails

Posté par re : Suites 28-07-16 à 09:13

Merci beaucoup Cherchell je regarde ça après car je dois aller en cours de math justement et au travail après.

Posté par re : Suites 28-07-16 à 12:42

ahl1700 @ 28-07-2016 à 09:13

Merci beaucoup Cherchell je regarde ça après car je dois aller en cours de math justement et au travail après.

salut

dans quel pays es-tu ?

Posté par re : Suites 28-07-16 à 14:31

Salut Carpediem. Je suis française mais j'habite en Suisse et les cours sont des cours particuliers.

Je dois donc prouver que pour tout n>1 , $x_n$ 0
Donc $x_{n+1}$ 0

$2x_n+3y_n$ 0