Bonjour,

Si j'ai bien compris tes notations,

Par exemple pour n=0 tu as

e^(U1) = ae^(0)+ b = a + b

Pour n=1 e^(2U2) = ae^(U1) + b okay

En general tu as aussi:

(n+1)Un+1 = Ln[ae^(nUn) +b] d'ou Un+1 = (Ln[ae^(nUn)+b])/(n+1) =f(Un) fonction definie car a > 0.

re,
merci pour votre aide.
Mais je comprend pas la question demande, "determiner de facon unique le termes successifs d'une suie (un)n =>0 de reels", je comprend pas ce qui est demande.
merci

Comme Un+1 est une fonction de Un, chaque reel admet une image unique

re,
merci pour votre aide
j'ai fais une erreur de frappe, on a en fait vn=exp(nun)
est ce que vous pouverz verifier mes resultats  pour la suite svp.
2)
a) Dans le cas ou a=1, determiner la nature de la suite (Un).
si a=1, on a:
un+1=exp(nun)+b
la suite (Un)est donc une suite arithmetique.

b)Exprimer un puis vn en fonction de n et b.
est ce qu'on a:
un+1=vn +b ?

merci

c'est faux, c'est Vn+1 = Vn + b et donc Vn qui est arithmetique

Vn arithmetique donc pour tout n Vn = Vo + n*b

Vo=1  donc Vn = 1 + bn

D'ou e^(nUn) = 1 + bn  donc nUn = Ln(1+bn) et tu divises par n

re,
je crois que vous avez confondu un et vn, on a:
un+1: exp((n+1)un+1)=aexp(nun)+b   et  vn=exp(nun)
donc est ce qu'on a pas:
un+1:exp(nun)+b
un+1: vn+b ?
merci

Ayant pose un=exp(nun), on ecrira la relaion liant un et un+1.

Je ne pense pas mais ca depend un peu de ce qui est correct dans la phrase ci dessus.

Selon ce que j'ai compris on a :

e^[(n+1)Un+1] = e^(nUn) + b  si a = 1

Si Vn = e^(nUn)  alors Vn+1 = e^[(n+1)Un+1] d'accord ?

Donc on a bien Vn+1 = e^[(n+1)Un+1] = e^(nUn) + b = Vn + b

On n'a pas comme tu le dis un+1:exp(nun)+b

re,
en fait je me suis trompe en ecrivant mon enonce, voici la bonen version:

Dans cet exercice, les nombres a et b sont deux reels strictement positifs donnes.On considere la relation de recurrence (1) entre des nombres notes un et un+1:
exp((n+1)un+1)=aexp(nun)+b.

1)Le nombre u0 etant choisi egal a 1, montrer que la relation (1) permet de determiner de facon unique le termes successifs d'une suie (un)n =>0 de reels. Ayant pose vn=exp(nun), on ecrira la relaion liant vn et vn+1.
docn je crois qu'on a un+1=avn +n
et vn+1=exp(n+1(un+1))

merci

Non je ne vois pas pourquoi tu aurais Un+1 = aVn + b.

Je me doutais de l'enonce et cela confirme tout ce que j'ai fait.

Si a n'est pas egal a 1 alors tu as Vn+1 = aVn + b

re,
oula je ne comprend plus rien.
L'enonce nous indique que un+1=aexp(nun)+b et vn=exp(nun)
donc en remplacant dans l'expression de un+1,
un+1=avn +b , non ?
merci

Oui d'accord mais cela ne sert strictement a rien !

les relations interessantes sont

Vn avec Un

ou Vn+1 avec Un+1  ce qui revient au meme

ou Vn+1 avec Vn


mais Un+1 avec Vn ou Vn+1 avec Un ca ne sert a rien, et ce n'est pas demande

sauf erreur, la question est : on ecrira la relaion liant vn et vn+1.

re,
ok j'ai compis, mais je ne vois pas comment vous trouvez vn+1=vn+b , a pertir de l'expression de un.
merci

relis le message de 11h46

re,
merci beaucoup pour votre aide, j'ai finalement compris.
Est ce que vous pouvez me corriger mes reponses pour  la suite svp.

c)Determiner la limite de la suite (Un)n=>0 lorsque n tend vers +infini.
ma reponse:
lim (Un)=0

3)Soit c un nombre reel.On suppose a present a different de a et on pose wn = vn +c.
a)Determiner cette constante c a l'aide de a et de b de maniere que la suite (wn) soit une suite geometrique de raison a.
ma reponse:
je sais qu'on a: wn:w0*(a)^n et wn+1/wn=a
donc vn+1/vn=a  avn+b+c/vn+c=a , je trouve c =b/a-1

b)Calculer w0.
w0=v0+c
w0=1+(b/a-1).

C)Expliciter alorx vn a l'aide de n, de ,a et de b.
vn=w0-c
vn=(1+(b/a-1))*(a)^n+(b/a-1)

4)a)Dans le cas ou a<1, trouver la limite de vn et en deduire celle de un.
lim (vn)= (b/a-1) car a<1
mais je vois pas d'ou on eput en deduire celle de (Un).

c)

Ici a est tjs egal a 1, visiblement.

Donc on a vu que (Vn) est arithmetique et que Vn = 1 + bn.

Or Vn= e^(nUn) donc ln(Vn)=nUn et Un = ln(Vn)/n = ln(1+bn)/n qui tend bien vers 0.

c'est bon

3)

je trouve comme toi c=b/(a-1)  N'oublie pas les parentheses !

W0 c'est bon

vn=w0-c
vn=(1+(b/a-1))*(a)^n+(b/a-1)

c'est Vn = Wn - c donc c'est -(b/(a-1))

4) la limite est donc -b/(a-1) ou bien b/(1-a)

Tu as toujours Un = ln(Vn)/n donc lim Un = 0 sauf erreur

re,
merci pour votre aide.
Est ce que vous pouvez verifier mes resultats pour la derniere question svp.

b)Dans le cas ou a1, exprimer un a l'aide de n, de a et de b et determiner la limite de un.
ma reponse:
un=ln(vn)/n
un=ln(((1+(b/a-1))*(a)^n-(b/a-1))/n

lim un=
je trove que lim vn=+infini
et lim n=+infin
donc c'est une forme indetermine, et je n'arrive pas a simplifier.
merci

C'est une limite du type a^n/n et a^n s'ecrit aussi e^(nlna) qui (en croissance comparee) est plus fort que n donc ca tend vers  +inf.

C'est tjs l'exponentielle qui gagne

re,
merci beaucoup