Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale SuitesTopics traitant de Suites [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Suites

Posté par
Staples 19-09-19 à 23:06

Bonsoir! J'ai un DM de maths à rendre pour ce lundi, et je bloque malheureusement déjà à la première question... Je remercie d'avance pour ceux qui m'éclaireront:
On considère les suites (an)n\in\mathbb{N} et (bn)n\in\mathbb{N} définies par a0=b0=1 et:
pour tout n\in\mathbb{N}, an+1=an+2bn,
bn+1=an+bn

1.a) Montrer que pour tout n\in\mathbb{N}, les nombres an et bn sont des entier strictement positifs.

Merci

Posté par
matheuxmatoure : Suites 19-09-19 à 23:07

bonsoir

trivial par récurrence ...

Posté par
Staplesre : Suites 19-09-19 à 23:08

Je suppose que an et bn sont supérieurs à 0?

Posté par
matheuxmatoure : Suites 19-09-19 à 23:09

tu as vu le raisonnement par récurrence en cours ?

Posté par
Staplesre : Suites 19-09-19 à 23:10

oui

Posté par
matheuxmatoure : Suites 19-09-19 à 23:12

bon ben alors tu l'appliques et tu le rédiges correctement et rigoureusement !

Posté par
matheuxmatoure : Suites 19-09-19 à 23:16

à toi de proposer et on corrigera ...

Posté par
Staplesre : Suites 19-09-19 à 23:23

J'ai fait ça du coup:

Notons P(n) la proposition : an>0 et bn>0 pour tout n\in\mathbb{N}.

Initialisation: On vérifie que P(n) est vraie pour le premier rang, ici n=0.
Pour n=0, a0=1>0 et b0=1>0, donc P(0) est vraie.

Hérédité: On suppose pour un n fixé que P(n) est vraie, soit P(n): an>0 et bn>0. Montrons que P(n+1) est vraie aussi, soit an+1>0 et bn+1>0.
an>0 et bn>0
\Longleftrightarrow 2bn >0
\Longleftrightarrow an+2bn >0
\Longleftrightarrow an+1>0
ainsi que:
an>0
\Longleftrightarrowan+bn>0
\Longleftrightarrowan+1>0
Donc P(n+1) est vraie.

Conclusion: P(n) est vraie pour n=0 et est héréditaire, donc P(n) est vraie pour tout entier naturel n.

Posté par
matheuxmatoure : Suites 19-09-19 à 23:25

relis la question !

on ne te demande pas de montrer qu'ils sont positifs ...

on te demande de montrer que ce sont des entiers positifs ...

Posté par
matheuxmatoure : Suites 19-09-19 à 23:26

et puis laisse tomber ces symboles d'équivalence qui n'ont aucun sens ici...

rédige avec des mots en français... c'est tellement plus clair et moins risqué !

Posté par
Staplesre : Suites 19-09-19 à 23:33

Du coup je suppose que an et bn sont des entiers strictement positifs?

Par exemple pour an+1 je démontre que an+2bn?
Comme  an et  bn sont des entiers positifs, si on multiplie  bn par 2, on obtiendra toujours un entier positif. De même, si on ajoute  an, un entier positif, à  2bn, on obtient un entier positif.
Ce qui évaut à dire que  an+1=an+2bn est un entier positif.

Posté par
Glapion Moderateurre : Suites 20-09-19 à 13:41

oui c'est ça, l'hérédité est donc établie pour an. tu fais pareil pour bn et ça répond à la question.

Posté par
Staplesre : Suites 20-09-19 à 13:59

Merci beaucoup!

Posté par
matheuxmatoure : Suites 20-09-19 à 23:05

oui, voilà, c'est plus clair

Posté par
StaplesSuites 21-09-19 à 00:42

Bonsoir! Je bloque de nouveau sur ce DM de maths , voici l'énoncé:

On considère les suites (an)n\in\mathbb{N} et (bn)n\in\mathbb{N} définies par a0=b0=1 et:
pour tout n\in\mathbb{N}, an+1=an+2bn,
bn+1=an+bn

1.a) Montrer que pour tout n\in\mathbb{N}, les nombres an et bn sont des entier strictement positifs.
b.)  Montrer que pour tout n\in\mathbb{N},  an\geqbn.

2. On définit une nouvelle suite (Un)n\in\mathbb{N} en posant n\in\mathbb{N}, un=\frac{a_n}{b_n}.
a) Pour n\in\mathbb{N}, exprimer un+1 en fonction de un.

Je bloque à la question 2, voici ce que j'ai fait:
un+1=\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}
un+1=\frac{a_n+2b_n}{a_n+b_n}
Je reconnais le un=\frac{a_n}{b_n}, cependant, je ne sais pas comment le séparer du reste de la fraction (si c'est compréhensible?).

Merci d'avoir pris la peine de lire!

*** message déplacé ***

Posté par
pzorba75re : Suites 21-09-19 à 05:57

un+1=(an+bn+bn)/(an+bn)=1+bn/(an+bn)=...
poursuivre pour faire apparaître un.

*** message déplacé ***

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suites 21-09-19 à 06:49

Bonjour,
Attention Staples, ça frise le multi-post...

Une autre méthode pour 2) :
bn est non nul d'après 1). On peut donc écrire an+2bn = bn( ... + ... )
Idem avec an+bn.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suites 21-09-19 à 06:52

Pourquoi ne postes-tu pas tout l'exercice dès le départ ?
Si tu veux de l'aide pour les questions suivantes, tu devras les écrire dans ce sujet.
Connaitre l'énoncé en entier permet de mieux cerner son esprit ; donc d'être plus efficace pour aider.

Posté par
Staplesre : Suites 21-09-19 à 17:25

Désolé, je posterai ici du coup quand j'aurai d'autres questions sur un même sujet.
Pour le 2)a), j'ai donc fait en suivant la méthode:

bn est non nul d'après 1), on peut donc écrire:
an+2bn= bn(\frac{a_n}{b_n}+2)
ainsi que: an+bn= bn (\frac{a_n}{b_n}+1)
on a donc \frac{b_n(\frac{a_n}{b_n}+2)}{b_n(\frac{a_n}{b_n}+1)}
ce qui équivaut à dire que: u_{n+1}=\frac{u_n+2}{u_n+1}.

Posté par
Staplesre : Suites 21-09-19 à 17:43

Et sinon voici le reste de l'énoncé:

2.b) En déduire que : pour tout n\in\mathbb{N}, |u_{n+1}-\sqrt{2}|\leq \frac{\sqrt{2}-1}{2}|u_n-\sqrt{2}|.
c) On pose q=\frac{\sqrt{2}-1}{2}, montrer que: pour tout n\in\mathbb{N}, |u_n-\sqrt{2}|\leq q^{n}|u_0-\sqrt{2}|.
d) Conclure que la suite (Un)n\in\mathbb{N} converge vers \sqrt{2}.

3. a) Prouver sans récurrence que: pour tout n\in\mathbb{N}, a_{n+1}= 2a_{n+1}+a_n.
b) Prouver par récurrence que:
pour tout n\in\mathbb{N}, a_n= (2-\frac{\sqrt2}{2})(1+\sqrt2)^{n}+(-1+\frac{\sqrt2}{2})(1-\sqrt2)^{n}.

4. En déduire l'expression de b_n en fonction de n.

Je vais essayer de commencer le 2.b en espérant que ce que j'ai fait pour la question 2.a est correct

Posté par
Staplesre : Suites 21-09-19 à 19:32

Je bloque pour le 2b aussi, je ne suis pas très à l'aise avec les valeurs absolues...
J'ai fait pour l'instant:
|u_{n+1}-\sqrt2|=\frac{u_n+2}{u_n+1}
|u_{n+1}-\sqrt2|=|\frac{u_n+2}{u_n+1}-\sqrt2|
|u_{n+1}-\sqrt2|= |\frac{(u_n+2)(-u_n\sqrt2-\sqrt2)}{u_n+1}|
|u_{n+1}-\sqrt2|= \frac{|u_n+2| \times |-u_n\sqrt2-\sqrt2)|}{|u_n+1|}
Mais je ne sais pas trop quoi faire après ça

Posté par
Staplesre : Suites 21-09-19 à 20:32

Ok j'ai fait une erreur de calcul dans ma réponse précédente, je crois être sur la bonne piste
Je posterai mon résultat ici quand j'aurai fini le 2.b

Posté par
Staplesre : Suites 21-09-19 à 21:11

Je crois que j'ai trouvé!

En développant l'expression puis en la factorisant par u_n et par -\sqrt{2}, on retrouve (1-\sqrt{2}), du coup à la fin j'obtient:
\frac{| 1-\sqrt{2} |}{|u_n+1|}\times |u_n-\sqrt{2}|,
or |1-\sqrt{2}|=|\sqrt{2}-1|
du coup on a:
u_{n+1}-\sqrt2=\frac{|\sqrt{2}-1|}{|u_n+1|}\times |u_n-\sqrt{2}|.
Or la valeur absolue de |\sqrt2 -1| est \sqrt2-1.
De plus on a u_n+1 qui est positif, comme u_n=\frac{a_n}{b_n}, et que a_n et b_n sont des entiers strictement positifs (voir 1.a), alors u_n est forcément positif, et donc u_n+1 l'est aussi.
Ainsi que la valeur absolue de |u_n+1| est de u_n+1,
donc j'ai:
|u_{n+1}-\sqrt2|=\frac{\sqrt{2}-1}{u_n+1}\times |u_n-\sqrt{2}|.

Dans la question 1.b, on a montré que a_n\geq b_n,
ce qui veut dire que u_n=\frac{a_n}{b_n}\geq 1,
soit u_n+1=\frac{a_n}{b_n}+1\geq 2.
On en déduit donc:
\frac{\sqrt{2}-1}{u_n+1}\times |u_n-\sqrt{2}|\leq \frac{\sqrt{2}-1}{2}|u_n-\sqrt{2}|
|u_{n+1}-\sqrt{2}|\leq \frac{\sqrt{2}-1}{2}|u_n-\sqrt{2}|.

Je crois que c'est ça, si c'est correct, est-ce que ma rédaction est assez précise? Si c'est faux et bien... je recommencerai

Posté par
Staplesre : Suites 21-09-19 à 21:59

Pour le 2.c j'ai prouvé par récurrence, notamment grâce au 2.b.

Posté par
Staplesre : Suites 21-09-19 à 22:15

Je ne sais pas trop quoi faire pour la 2.d, est-ce-que je dois calculer la limite de |u_n-\sqrt2}?|?

Posté par
Staplesre : Suites 21-09-19 à 22:15

pardon, faute de frappe:
|u_n-\sqrt2}|

Posté par
Staplesre : Suites 21-09-19 à 22:27

up, s'il vous plait!

Posté par
Staplesre : Suites 22-09-19 à 01:31

Merci beaucoup pour votre aide, j'ai enfin fini le DM

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suites 22-09-19 à 07:17

Bonjour,
Ce n'était pas un dialogue de sourd,mais un dialogue entre toi et toi \;
Bravo pour ta persévérance, et à une autre fois sur l'ile \;


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1769 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !