Bonjour
voici un exercice à faire à savoir :
Soit un la suite définie pour tout entier naturel n, par u0=0 et un+1=2/3un +3
1 a) A l'aide de la calculatrice, calculer les 10 premiers termes de la suite
ça c'est bon u0=2, u1=4,33 , u2= 5,8889 etc....
b) conjecturer le sens de variation de un et une majoration de un
là je ne sais plus comment on fait exactement
le sens de variation pour moi comme les chiffres augmentent donc c'est croissant
la suite je ne sais comment faire pour une majoration de un ?
2) montrer par récurrence que un est majorée par 9
par récurrence donc :
*initialisation je remplace dans u (n+1 ) par u0= 2 donc 2/3*2+3 = 4/3+3=13/3 donc 9 donc P(o) est vraie
* hérédité : je ne sais plus trop comment on fait
il me semble que l'on prend un P(k)
mais si vous pouvez m'expliquer merci
* conclusion il faut que les deux soient vrai pour pouvoir conclure que un est majorée par 9
3) montrer que u(n+1) - un=-1/3yb+3, puis en déduire le sens de variation de la suite (un)
2/3un+3-un=2/3un-un+3=-1/3un+3
et après je bloque
4) justifier que la suite un converge
une suite qui est croissante et majorée converge
MERCI
Alors, pour la première question, tu es sans doute allé jusqu'à u108,79
Pour le sens de variation, oui, ça augmente donc la suite est croissante
Pour la majoration, on peut envisager que 9 soit un majorant puis qu'on s'en rapproche mais les termes augmentent de moins en moins. Si tu as un tableur, on voit u268,99968.....
Pour la récurrence, u0=0<9 c'est donc bon pour l'initialisation.
Reste l'hérédité: tu suppose uk<9 et tu dois montrer que uk+1<9
Re,
donc pas de méthode particulière pour connaître le minorant ou le majorant ?
j'ai fait sur ma calculatrice et en effet on a 9(u30=9 u40=9) donc c'est ça que ça veut dire, je pensais qu'il y avait un calcul à faire
oui mais je ne sais plus comment on fait pour l'hérédité
donc si je vais uk<9 après je fais quoi uk je remplace par u5 par exemple et j'ai en effet <9
Merci de m'expliquer afin que je comprenne bien (car jusque maintenant c'était dur pour moi)
MERCI
Re,
donc je remplace uk par 9 ?
u(k+1)=(2/3)*9+3= 9
donc ça veut dire que la suite est majorée de 9 ?
c'est ça
MERCI
Re,
justement j'aimerai avoir une bonne méthode pour faire l'hérédité
j'essaie
P(k)=2/3uk +3
si k =5 j'obtiens 2/3*5+3=40/3 donc <9 donc c'est vrai pour P(k)
est-ce comme cela
MERCI de me dire et de m'expliquer
apprends à rédiger une récurrence correctement
P(k) est la propriété (uk 9)
on veut montrer que pour tout k, P(k) est vraie
1 : pour k=0 on a ...
2 : supposons que, pour un certain entier k, on ait P(k) est vraie...
Re,
ok (là je faisais un sujet sur le produit scalaire car je vais avoir une interro, mais tout ce qui est dans l'espace, je n'y arrive pas je vais le mettre après pour avoir des explications)
donc revenons à nos moutons
donc
initialisation
je remplace dans u (n+1 ) par u0= 2 donc 2/3*2+3 = 4/3+3=13/3 donc 9 donc P(o) est vraie
hérédité
on suppose que, pour un certain entier k, on ait P(k) est vraie c'est à dire que uk 9
Et montrons qu'alors, la propriété est vraie au rang k+1, c'est à dire : uk+1 > 9
uk > 9 Donc : (2/3)un+3 D'où uk+1
9 et il y a donc hérédité.
Conclusion : par récurrence la propriété est vraie pour tout n
MERCI
Bonjour,
En attendant le retour de sanantonio312 ou de matheuxmatou :
Re,
j'ai fait une erreur à uk >(pas à mettre erreur)9
Merci de me dire exactement comment rédiger
MERCI
mais qu'est-ce que c'est que cette histoire de un+1 pour l'initialisation ?
tu comprends ce que veut dire
P(k) : uk 9
???
ça donne quoi pour k=0 ?
Re,
je reprend donc
initialisation:
u0=2 donc un 9 donc P(o) est vraie
hérédité :
on suppose que P(n) est vraie pour un entier n 0
u(n+1)= (2/3)un +3
(2/3)un9
39
donc
(2/3)yn+39
donc
u(n+1)9
la propriété est héréditaire
conclusion :
la propriété est initialisé et héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier n
ainsi pour tout entier naturel n, u(n+1)9
MERCI
Re,
On raisonne par récurrence
soit P(n):Un9 pour tout n
0
Initialisation:
u0=2 et u09 donc P(o) soit vraie
hérédité :
on suppose qu'il existe un entier k tel que P(k) est vraie c'est-à-dire tel que uk 9
Montrons que P(k+1) est vraie.
uk9
uk+2
9
(2/3)yn+39
P(k+1) est également vraie c'est à dire P(k+1)=u(k+1)9
uk9
1/3uk3
(1/3)uk+36
donc
P(k+1)[est donc vrai
la propriété est héréditaire
conclusion :
la propriété est vraie au rang O, et elle est héréditaire. Donc d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n
MERCI
Bonsoir
Montrons par récurrence que pour tout
Montrons d'abord que la proposition est vraie pour n=0
ce qui est bien inférieur à 9 donc la proposition est vraie
Supposons que la propriété est vraie pour et montrons que la propriété est vraie aussi pour
Utilisons la relation de récurrence ou
donc
Nous avons montré que la proposition était vraie pour 0 et que si elle était vraie pour k alors elle était vraie aussi pour
Par conséquent elle est vraie pour tout
Re,
Merci beaucoup c'est plus claire dans ma tête.
question suivante
3) montrer que u (n1) - un=-1/3un+3 puis en déduire le sens de variation de la suite (un)
là j'y suis arrivée , la suite est croissante
4) justifier que la suite (un) converge. oui car la suite est croissante et majorée
MERCI
Oui on se sert de la propriété montrée à la question précédente
suite croissante majorée donc converge
Bonjour,
Je remettrai d'autres exercices sur les suites car beaucoup de choses à (voir ou revoir)
Bonne journée
Et un grand merci
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