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suites

Posté par
Nelcar
22-01-21 à 10:40

Bonjour
voici un exercice à faire à savoir :
Soit un la suite définie pour tout entier naturel n, par u0=0 et un+1=2/3un +3
1 a) A l'aide de la calculatrice, calculer les 10 premiers termes de la suite
ça c'est bon u0=2, u1=4,33 , u2= 5,8889 etc....
b) conjecturer le sens de variation de un et une majoration de un
là je ne sais plus comment on fait exactement
le sens de variation pour moi comme les chiffres augmentent donc c'est croissant
la suite je ne sais comment faire pour une majoration de un ?
2) montrer par récurrence que un est majorée par 9
par récurrence donc :
*initialisation  je remplace dans u (n+1 ) par u0= 2 donc 2/3*2+3 = 4/3+3=13/3 donc  9  donc P(o) est vraie
* hérédité : je ne sais plus trop comment on fait
il me semble que l'on prend un P(k)
mais si vous pouvez m'expliquer merci
* conclusion il faut que les deux soient vrai pour pouvoir conclure que un est majorée par 9
3) montrer que u(n+1) - un=-1/3yb+3, puis en déduire le sens de variation de la suite (un)
2/3un+3-un=2/3un-un+3=-1/3un+3  
et après je bloque
4) justifier que la suite un converge
une suite qui est croissante et majorée converge

MERCI

Posté par
sanantonio312
re : suites 22-01-21 à 10:53

Bonjour,
Es-tu sûr que c'est u_{n+1}=\dfrac{2}{3u_n}+3

Posté par
Nelcar
re : suites 22-01-21 à 11:10

Bonjour
non c'est u(n+1)=(2/3)un+3

MERCI

Posté par
sanantonio312
re : suites 22-01-21 à 11:30

Alors, pour la première question, tu es sans doute allé jusqu'à u108,79
Pour le sens de variation, oui, ça augmente donc la suite est croissante
Pour la majoration, on peut envisager que 9 soit un majorant puis qu'on s'en rapproche mais les termes augmentent de moins en moins. Si tu as un tableur, on voit u268,99968.....
Pour la récurrence, u0=0<9 c'est donc bon pour l'initialisation.
Reste l'hérédité: tu suppose uk<9 et tu dois montrer que uk+1<9

Posté par
sanantonio312
re : suites 22-01-21 à 11:31

tu supposes

Posté par
Nelcar
re : suites 22-01-21 à 11:57

Re,
donc pas de méthode particulière  pour connaître le minorant ou le majorant ?
j'ai fait sur ma calculatrice et en effet on a 9(u30=9 u40=9) donc c'est ça que ça veut dire, je pensais qu'il y avait un calcul à faire
oui mais je ne sais plus comment on fait pour l'hérédité
donc si je vais uk<9 après je fais quoi uk je remplace par u5 par exemple et j'ai en effet <9

Merci de m'expliquer afin que je comprenne bien (car jusque maintenant c'était dur pour moi)

MERCI

Posté par
sanantonio312
re : suites 22-01-21 à 12:30

Tu supposes uk<9
Que peux tu dire de uk+1?
Pour ça, utilise le fait que uk+1=(2/3)uk+3

Posté par
sanantonio312
re : suites 22-01-21 à 12:32

Citation :
j'ai fait sur ma calculatrice et en effet on a 9(u30=9 u40=9) donc c'est ça que ça veut dire, je pensais qu'il y avait un calcul à faire
Ici, tu as seulement fait une conjecture. Tu dis: "j'ai l'impression que la suite est majorée par 9". Tu n'as encore rien démontré. Ça viendra plus tard...

Posté par
Nelcar
re : suites 22-01-21 à 12:41

Re,
donc je remplace uk par 9 ?
u(k+1)=(2/3)*9+3= 9

donc ça veut dire que la suite est majorée de 9 ?
c'est ça

MERCI

Posté par
matheuxmatou
re : suites 22-01-21 à 13:21

bonjour

uk n'est pas égal à 9 !

rédige-nous une récurrence un peu plus rigoureuse et complète.

Posté par
Nelcar
re : suites 22-01-21 à 13:30

Re,
justement j'aimerai avoir une bonne méthode pour faire l'hérédité
j'essaie
P(k)=2/3uk +3
si k =5 j'obtiens 2/3*5+3=40/3 donc <9 donc c'est vrai pour P(k)

est-ce comme cela

MERCI de me dire et de m'expliquer

Posté par
matheuxmatou
re : suites 22-01-21 à 13:33

apprends à rédiger une récurrence correctement

P(k) est la propriété (uk 9)

on veut montrer que pour tout k, P(k) est vraie

1 : pour k=0 on a ...
2 : supposons que, pour un certain entier k, on ait P(k) est vraie...

Posté par
matheuxmatou
re : suites 22-01-21 à 13:34

et on ne prends pas des valeurs particulières pour l'hérédité, cela n'a aucun sens ...

Posté par
Nelcar
re : suites 22-01-21 à 14:20

Re,
donc on ne prend aucune valeur pour P(k) ?

MERCI

Posté par
matheuxmatou
re : suites 22-01-21 à 14:32

bon, tu vas la rédiger oui cette récurrence plutôt que de causer ?

Posté par
Nelcar
re : suites 22-01-21 à 16:42

Re,
ok (là je faisais un sujet sur le produit scalaire car je vais avoir une interro, mais tout ce qui est dans l'espace, je n'y arrive pas je vais le mettre après pour avoir des explications)
donc revenons à nos moutons
donc
initialisation
je remplace dans u (n+1 ) par u0= 2 donc 2/3*2+3 = 4/3+3=13/3 donc  9  donc P(o) est vraie
hérédité
on suppose que, pour un certain entier k, on ait P(k) est vraie c'est à dire que uk 9
Et montrons qu'alors, la propriété est vraie au rang k+1, c'est à dire : uk+1 > 9
uk > 9 Donc : (2/3)un+3  D'où  uk+1 9 et il y a donc hérédité.
Conclusion : par récurrence la propriété est vraie pour tout n

MERCI

Posté par
littleguy
re : suites 22-01-21 à 16:56

Bonjour,

En attendant le retour de sanantonio312 ou de matheuxmatou :

Citation :
uk > 9 Donc : (2/3)un+3  D'où  uk+1 9
n'a aucun sens...

Rédige plus rigoureusement.

Posté par
littleguy
re : suites 22-01-21 à 17:05

Plus personne. Je pars aussi.

Posté par
Nelcar
re : suites 22-01-21 à 17:08

Re,
j'ai fait une erreur à uk >(pas à mettre erreur)9

Merci de me dire exactement comment rédiger

MERCI

Posté par
matheuxmatou
re : suites 22-01-21 à 17:11

mais qu'est-ce que c'est que cette histoire de un+1 pour l'initialisation ?

tu comprends ce que veut dire

P(k) : uk 9

???

ça donne quoi pour k=0 ?

Posté par
matheuxmatou
re : suites 22-01-21 à 17:13

et essaye de te concentrer sur une seule chose à la fois... ça a déjà l'air problématique !

Posté par
Nelcar
re : suites 22-01-21 à 17:57

Re,
je reprend donc

initialisation:
u0=2    donc un 9  donc P(o) est vraie
hérédité :
on suppose que P(n) est vraie pour un entier n 0
u(n+1)= (2/3)un +3
(2/3)un9
39
donc
(2/3)yn+39
donc
u(n+1)9
la propriété est héréditaire
conclusion :
la propriété est initialisé et héréditaire, donc elle est vraie pour  tout entier n
ainsi pour tout entier naturel n, u(n+1)9

MERCI

Posté par
matheuxmatou
re : suites 22-01-21 à 18:01

Nelcar @ 22-01-2021 à 17:57


initialisation:
u0=2    donc u0 9  donc P(o) est vraie

hérédité :
on suppose que P(n) est vraie pour un entier n 0, c'est à dire que un 9
u(n+1)= (2/3)un +3
(2/3)un9 non ! c'est un qui est inférieur à 9
39
donc
(2/3)yn+39 certainement pas ! la somme de 2 nombres inférieurs à 9 est inférieure à 18 !!!!

Posté par
Nelcar
re : suites 22-01-21 à 20:32

Re,
On raisonne par récurrence
soit P(n):Un9 pour tout n 0
Initialisation:
u0=2    et u09  donc P(o) soit vraie
hérédité :
on suppose qu'il existe un entier k tel que P(k)  est vraie c'est-à-dire tel que uk 9
Montrons que P(k+1) est vraie.
uk9 uk+29
(2/3)yn+39
P(k+1) est également vraie c'est à dire P(k+1)=u(k+1)9
uk9
1/3uk3
(1/3)uk+36
donc
P(k+1)[est donc vrai
la propriété est héréditaire
conclusion :
la propriété est vraie au rang O, et elle est héréditaire. Donc d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n

MERCI

Posté par
hekla
re : suites 22-01-21 à 20:46

Bonsoir

Montrons par récurrence que pour tout n\ u_n\leqslant 9

Montrons d'abord que la proposition est vraie pour n=0

u_0=2  ce qui est bien inférieur à 9 donc la proposition est vraie

Supposons que la propriété est vraie pour k  et montrons que la propriété est vraie aussi pour 
 \\ k+1

u_{k+1} = \dfrac{2}{3}u_k +3

Utilisons la  relation de récurrence  u_{k+1} \leqslant \dfrac{2}{3}\times 9 +3   ou  u_{k+1}\leqslant 6+3

donc u_{k+1}\leqslant 9

Nous avons montré que la proposition était vraie pour 0 et que si elle était vraie pour k alors elle était vraie aussi pour k+1

Par conséquent elle est vraie pour tout n\in \n

Posté par
Nelcar
re : suites 22-01-21 à 21:25

Re,

Merci beaucoup c'est plus claire dans ma tête.
question suivante
3) montrer que u (n1) - un=-1/3un+3 puis en déduire le sens de variation de la suite (un)
là j'y suis arrivée , la suite est croissante
4) justifier que la suite (un) converge. oui car la suite est croissante et majorée

MERCI

Posté par
hekla
re : suites 22-01-21 à 21:33

Oui on se sert de la propriété montrée à la question précédente  
suite croissante majorée  donc converge

Posté par
Nelcar
re : suites 23-01-21 à 10:18

Bonjour,

Je remettrai d'autres exercices sur les suites  car beaucoup de choses à (voir ou revoir)

Bonne journée

Et un grand merci

Posté par
hekla
re : suites 23-01-21 à 11:33

Bonjour

Quand vous voudrez

Posté par
Nelcar
re : suites 23-01-21 à 13:33

Re,
je viens de mettre un exercice sur le produit scalaire

MERCI A PLUS

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