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Suites

Posté par
Togen
12-02-21 à 05:24

Bonjour j?ai besoin d?aide avec cet exercice s?il vous plaît :

On considère les suites (un) et (vn) définies pour tout entier naturel n par :
u0=v0=1
un+1=un+vn
vn+1=2un+vn

Dans tout l?exercice on admet que les suites (un) et (Vn) sont strictement positives.

1)a) calculer v1 et u1

b)Démontrer que la suite (vn) est strictement croissante, puis en déduire que, pour tout entier naturel n, vn>=1 .

c)Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a: un>=n+1.
d)En déduire la limite de la suite (un)

2)On pose, pour tout entier naturel n:
rn=vn/un

On admet que rn^2=2+ [(-1)^(n+1)]/un^2

a)Démontrer que pour tout entier naturel n:
-1/un^2 =< [(-1)^(n+1)]/un^2=<1/un^2

b)En déduire : lim  [(-1)^(n+1)]/un^2
                         x->+infinie

c)Déterminer la limite de la suite (rn^2) et en déduire que (rn) converge vers racinecarre(2).

d)Démontrer que pour tout entier naturel n,
rn+1= (2+rn)/(1+rn)

e)On considère le programme suivant écrit en langage Python (abs désigne la valeur absolue, sqrt la racine carrée et 10**(-4) représente 10^-4

La valeur de n renvoyée par ce programme est 5. À quoi correspond-elle ?


1)a) reussi
b) je n?y arrive pas

Merci d?avance

***Merci de détailler tes pistes de réflexion, "je n'y arrive pas" ne permet d'identifier ce qui te pose problème***

Posté par
Togen
re : Suites 12-02-21 à 06:41

Je ne vois pas comment le démonter, car Vn+1=2un+Vn ?

Posté par
FerreSucre
re : Suites 12-02-21 à 07:25

Tu sais que :
U_n > 0 et V_n > 0.
Pour trouves les variations d'une suites tu peux poser :
U_{n+1}-U_n > 0
Et tu conclu sur si c'est supérieur à 0, c'est croissant et si c'est inférieur, decroissant.
Je te laisse calculer ça et quelque chose devrait te sauter aux yeux

Posté par
FerreSucre
re : Suites 12-02-21 à 07:26

Euh fait V_{n+1} - V_n > 0
Pardon ^^

Posté par
Togen
re : Suites 12-02-21 à 07:30

Ah oui merci !

Ensuite, pour la c) il y a juste la démonstration de P(k+1) que je n'arrive pas :
Démontrons que P(k+1) est vraie donc uk+1>=k+2

Ensuite je ne sais pas ce qu'il fait utiliser

Posté par
FerreSucre
re : Suites 12-02-21 à 12:01

T'as : U_{n+1} = U_n+V_n
Donc tu pars pour ton raisonnement par récurrence de :

U_n \geq n+1

Et t'essayes d'avoir :

U_{n+1} \geq n+1

Pour avoir U_{n+1} tu utilises la forme récurrente de l'énoncé. Et important pour le raisonnement par récurrence :
V_n > 0

Dis moi si t'y arrives pas ^^

Posté par
FerreSucre
re : Suites 12-02-21 à 12:03

Encore fais une bêtise pardon xD tu veux à la fin :

U_{n+1} \geq n+2

Et chose importante c'est V_n \geq 1

Pardon ^^

Posté par
FerreSucre
re : Suites 12-02-21 à 12:03

V_n \geq 1 *

Posté par
Togen
re : Suites 12-02-21 à 18:29

Merci, j'ai bien compris et j'ai réussi !

Posté par
matheo4525
re : Suites 24-02-21 à 12:44

bonjour ,j'ai le même sujet et je ne comprend pas la question deux faut il raisonner par réccurences ?sinon de quelles manières

Posté par
shnsko
re : Suites 03-11-21 à 18:00

Bonjour, je suis bloquée à la 2ème partie de l'exercice, quelqu'un peut m'aider svp ?

Posté par
Sachamaths
re : Suites 08-11-21 à 09:50

Je suis bloqué moi aussi a l'exercice 1c ) pour la récurrence, puis le 2eme exercice je rame



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