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Niveau première
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Suites

Posté par
Yasmin45
26-09-21 à 22:01

Bonsoir, voilà j'ai un exercice à faire et je ne parviens pas à comprendre le raisonnement pour la question 1 . Si quelqu'un pouvait m'aider ça serait génial ☺️
Voici l'énoncé

An et Pn sont respectivement l'aire et le périmètre du domaine en gris sur la figure cicontre dans un repère orthonormé.

1. Exprimer a, et p, en fonction de n.

2. Démontrer que les suites (an) et (Pn)

n n+1 sont arithmétiques.
Le graphique est avec le post 🙃

En vous remerciant pour l'aide que vous pourrez m'apporter !

Suites

Posté par
hekla
re : Suites 26-09-21 à 22:21

Bonsoir

Comment calcule-t-on l'aire d'un trapèze  ?

Quelle est la longueur du côté oblique ?

Posté par
LeHibou
re : Suites 26-09-21 à 22:29

Bonsoir,

Commence par nommer les points, par exemple :
A(n,0)
B(n+1,0)
C le point à la verticale de A sur la droite inclinée
D le point à la verticale de B sur la droite inclinée.
Commence par déterminer les coordonnées de C et D.
Pour l'aire, il faudra que tu te souviennes d'un certain théorème sur la surface d'un trapèze.
Pour le périmètre, il faudra que tu détermines les longueurs des quatre côtés. Trois des quatre seront très faciles, le quatrième CD sera un peu moins facile, quand tu seras là on t'aidera.

Posté par
LeHibou
re : Suites 26-09-21 à 23:46

Bonsoir hekla, je te laisse la main, enfin si  Yasmin45 se manifeste...

Posté par
hekla
re : Suites 27-09-21 à 09:32

Une autre figure

Suites

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Suites 27-09-21 à 09:32

Bonjour Yasmin45,
peux-tu, s'il te plait, modifier le niveau dans ton profil, merci.

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?

Posté par
LeHibou
re : Suites 27-09-21 à 09:35

Citation :
Une autre figure

Magnifique figure... Geogebra ?

Posté par
hekla
re : Suites 27-09-21 à 10:25

Bonjour LeHibou

Oui

Posté par
Yasmin45
re : Suites 27-09-21 à 12:47

Bonjour,
Désolé de ne répondre que maintenant je vous répond donc à ma pause midi
J'ai mis les coordonnées de C(5;5,5) et D (6,5;6)
Est ce bon ?
Ensuite la formule du trapèze est (B+b)xH2
Mais je ne vois pas comment l'utiliser comme c'est en écriture littérale
J'ai bien modifié mon profil ☺️

Posté par
hekla
re : Suites 27-09-21 à 12:58

Non tout doit être en lettre

C \left(n~;~\\dfrac{1}{3}n+3\right)

D\left(n+1~;~\\dfrac{1}{3}(n+1)+3\right)

Que valent AC et BD ?

Écrit correctement  \mathcal{A}_{ABCD}=\dfrac{(AC+BD)\times h}{2}

Posté par
hekla
re : Suites 27-09-21 à 12:59

Correction pour rendre lisible

C \left(n~;~\dfrac{1}{3}n+3\right)

D\left(n+1~;~\dfrac{1}{3}(n+1)+3\right)

Posté par
Yasmin45
re : Suites 27-09-21 à 13:08

Ah oui d'accord je comprend mieux
Je n'ai pas compris la question « que valent AC et BD »
Et cela me bloque pour l'air et le périmètre

Posté par
hekla
re : Suites 27-09-21 à 13:14

\text{AC}=\sqrt{(x_{\text{C}}-x_{\text{A}})^2+(y_{\text{C}}-y_{\text{A}})^2}

mais ici c'est beaucoup plus simple

Posté par
Yasmin45
re : Suites 27-09-21 à 17:46

Ahh oui la formule des coordonnées,! Bon et bien dès que j'ai un moment j'essaie et je vous redis

Si je m'absente quelque temps c'est que je suis au lycée ou dans les transports en commun, je m'en excuse. Merci de votre aide ☺️

Posté par
hekla
re : Suites 27-09-21 à 18:00

Pas de problème  sauf lorsque vous partez dormir  pour éviter d'attendre pour rien

Posté par
Yasmin45
re : Suites 27-09-21 à 19:46

Je suis de retour ! Jusqu'au coucher je vous préviendrais

Donc la formule  de la distance il faut remplacer par les coordonnes de C et D mais comment puis je calculer ca car il y a des" n et n=1" ..?

Posté par
hekla
re : Suites 27-09-21 à 20:37

Tout l'exercice comportera des n

Puisque (AC) et (BD) sont parallèles à l'axe des ordonnées la distance entre les deux points n'est donc que la différence des ordonnées

 AC= f(n)=\dfrac{1}{3}n+3 \quad BD= f(n+1)= \dfrac{1}{3}(n+1)+3

Posté par
Yasmin45
re : Suites 27-09-21 à 20:49

donc AC-BD
Si je comprend bien, c'est -1/3 n+1 ? Je ne suis pas sure du tout

Posté par
hekla
re : Suites 27-09-21 à 21:09

petite base AC   \dfrac{1}{3}n+3

grande base BD \dfrac{1}3} n+\dfrac{10}{3}
 \\

\mathcal{A}_{ABDC}= \dfrac{\left(\dfrac{1}{3}n+3+\dfrac{1}{3}n+\dfrac{10}{3}\right)\times 1}{2}

Simplifiez vous aurez alors la définition de la suite (a_n)

Posté par
Yasmin45
re : Suites 27-09-21 à 21:37

Ok merci beaucoup monsieur, j'ai encore jusqu'à lundi pour faire mon DM je vous redis ce que je trouve demain

Belle soirée à vous, et merci

Posté par
hekla
re : Suites 27-09-21 à 21:50

Bien, à demain

De rien

Posté par
Yasmin45
re : Suites 28-09-21 à 12:26

Bonjour!

Je trouve( 12/3+2n+3):2
Ça ferait (6/1,5+n+1,5):2 ?

Posté par
hekla
re : Suites 28-09-21 à 12:32

Bonjour

Comment trouvez-vous cela, et pour quelle suite ?

\mathcal{A}_{ABDC}= \dfrac{\left(\dfrac{1}{3}n+3+\dfrac{1}{3}n+\dfrac{10}{3}\right)\times 1}{2}=\dfrac{1}{3}n+\dfrac{19}{6}

Posté par
Yasmin45
re : Suites 28-09-21 à 12:35

En simplifiant l'expression Aire abcd
Je suis un peu perdue …
Comment avez vous obtenu cette simplification et à quoi va t -elle servir..? Calculer l'aire ?

Posté par
hekla
re : Suites 28-09-21 à 12:48

On cherche à calculer l'aire de la partie grisée  sur votre dessin

Il s'agit bien d'un trapèze  ici en outre il est rectangle
la petite base est AC soit f(n)=\dfrac{1}{3}n+3

la grande base est BD soit f(n+1)= \dfrac{1}{3}(n+1)+3=\dfrac{1}{3}n+\dfrac{10}{3}

La hauteur est AB soit 1
d'où ce que j'ai tapé

\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}n+3+\dfrac{1}{3}n+\dfrac{10}{3}\right)\times 1}{2}

Maintenant on effectue les calculs.

\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}n+\dfrac{1}{3}n+3+\dfrac{10}{3}\right)\times 1}{2}

\dfrac{\left(\dfrac{2}{3}n+\dfrac{9+10}{3}\right)\times 1}{2}

D'où le résultat pour l'aire du trapèze A_n=\dfrac{1}{3}n+\dfrac{19}{6}

Posté par
Yasmin45
re : Suites 28-09-21 à 19:46

Ahh oui  je comprends mieux d'où vient le résultats merci beaucoup!

Donc sachant que Pn est le périmetre il faut additioner les longueurs mais je ne sais pas quelle méthode utilisée ..?

Posté par
hekla
re : Suites 28-09-21 à 19:55

Quelle méthode ?  

Le périmètre est AB +BD+DC+CA

Il vous reste DC à calculer vous connaissez les autres longueurs

Posté par
Yasmin45
re : Suites 28-09-21 à 19:57

J'ai peut-être une piste...
Comme le trapeze est egalement formé d'un triangle rectangle, peut etre que je peux calculer son hypotenus puis additioner au rectangle restant.
Mais je ne sais pas vraiment comment m'y prendre

Posté par
hekla
re : Suites 28-09-21 à 20:00

Si vous pensez au triangle rectangle dessiné les longueurs sont inscrites sur la figure  sinon vous avez encore la relation écrite hier 13 :14

Posté par
Yasmin45
re : Suites 28-09-21 à 20:07

Mais du coup il nous manque les coordonnées de A et B ?

Posté par
hekla
re : Suites 28-09-21 à 20:16

LeHibou vous les a données dans son premier message

Vous n'en avez pas besoin

Posté par
Yasmin45
re : Suites 28-09-21 à 20:37

Si je me sers de la figure, je fais donc 1² puis1/3² =10/9 suis je sur la bonne voix ou pas du tout ?

Posté par
Yasmin45
re : Suites 28-09-21 à 20:46

Je pense continuer cet exercice demain. Car la je sature avec la fatigue, je reviens demain à tête reposé si vous pouviez juste me dire  si je suis sur la bonne voie ou dans le cas contraire m'indiquer comment je pourrais m' prendre ca serait génial!

Belle soirée a vous, encore merci et à demain

Posté par
hekla
re : Suites 28-09-21 à 20:57

Attention  vous avez écrit 1/3^2=10/9

oui, c'est bien cela, mais il ne faut pas oublier la racine carrée

Posté par
Yasmin45
re : Suites 28-09-21 à 21:15

Ah oui mince, cela donne 1.05409
J'arrondis ? Comment faire pour exprimer le périmètre du rectangle grâce à ça ?

Posté par
hekla
re : Suites 28-09-21 à 21:18

P_n=1+\dfrac{1}{3}n+\dfrac{10}{3}+\dfrac{\sqrt{10}}{3}+\dfrac{1}{3}n+3

Travaillez avec les valeurs exactes

Posté par
Yasmin45
re : Suites 28-09-21 à 21:47

D'accord après simplification je trouve ceci
« 22/3+1/3n+√10/3x1/3n » est ce bon ? Si oui c'est donc ça qui correspond à Pn ?

Posté par
Yasmin45
re : Suites 28-09-21 à 21:57

Autre petite question.. dans votre message de 12:48 aujourd'hui
Vous avez mis  apres « on effectue les calcul »
Il y a  3+10/3  et vous avez mis ensuite dans le résultat final 19/3 ne serait ce pas 13 ? Car je ne comprend pas l'origine du 19

Posté par
hekla
re : Suites 28-09-21 à 21:58

P_n=\dfrac{2}{3} n+\dfrac{22+\sqrt{10}}{3}

Il y a un signe + qui s'est transformé en  \times

Quel est le texte après, car il traîne des n n+1

Posté par
Yasmin45
re : Suites 28-09-21 à 22:17

Comment arrivez vous à cette simplification de Pn ?

J'avais juste oublier d'effacer n n+1 je m'en excuse
Il y a seulement 2 questions la deuxième étant « 2.démontrer  que An et Pn sont arithmétiques »

Posté par
hekla
re : Suites 28-09-21 à 22:28

On regroupe

P_n=1+\dfrac{1}{3}n+\dfrac{10}{3}+\dfrac{\sqrt{10}}{3}+\dfrac{1}{3}n+3


P_n=\dfrac{1}{3}n+\dfrac{1}{3}n+\dfrac{10}{3}+\dfrac{\sqrt{10}}{3}+1+3

P_n=\dfrac{2}{3}n+\dfrac{10}{3}+\dfrac{\sqrt{10}}{3}+\dfrac{12}{3}

P_n=\dfrac{2}{3}n+\dfrac{22+\sqrt{10}}{3}

Posté par
Yasmin45
re : Suites 28-09-21 à 22:41

Ah oui ok je comprend beaucoup mieux merci
Lorsque vous m'avez dis il y a un + qui se transforme en x de quoi parliez vous ?

Posté par
hekla
re : Suites 28-09-21 à 22:48

Citation :
« 22/3+1/3n+√10/3x1/3n » est ce bon ?


De ceci  le signe d'addition est devenu un signe de multiplication

Posté par
Yasmin45
re : Suites 29-09-21 à 12:31

Ah ok merci je vois mieux  et pour cette expression, pourquoi est ce 19 et pas 13 ?

Suites

Posté par
hekla
re : Suites 29-09-21 à 13:03

3=\dfrac{3\times3}{3}

3+\dfrac{10}{3}=\dfrac{9}{3}+\dfrac{10}3}=\dfrac{9+10}{3}

Il faudrait revoir les fractions

Posté par
Yasmin45
re : Suites 29-09-21 à 13:58

Ah oui je pense que je vais les revoir j'avais oublier qu'il fallait changer le dénominateur.. Merci!!
Comment puis je faire pour démontrer avec ces 2 valeurs de An et Pn

Posté par
hekla
re : Suites 29-09-21 à 14:20

Comme toujours  la différence entre 2 termes consécutifs constante


A_{n+1}-A_n =r \quad P_{n+1}-P_n=s

Posté par
Yasmin45
re : Suites 29-09-21 à 14:54

Ok j'essaie et vous redis 😊

Posté par
hekla
re : Suites 29-09-21 à 15:09

En principe il n'y a pas de problème,  c'est de la forme u_0+nr

Posté par
Yasmin45
re : Suites 29-09-21 à 15:44

Oui, je vais essayer, merci

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