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suites

Posté par
clemence1
21-11-21 à 13:49

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour cet exercice :

Partie 1:
On considère la suite (Un) définie par U0=2 et, pour tout entier naturel n :
Un+1 =\frac{1+3Un}{3+Un}
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

1) Démontrer par recurrence que, pour tout entier naturel n, on a : Un > 1.

Initialisation :
U0 = 2
2>1 donc P(0) est vraie
Hérédité :
On suppose que Uk > 1
On veut montrer que Uk+1 > 1
Donc, Uk+1 = \frac{1+3Uk}{3+Uk}
Or, on sait d'après notre hypothèse de recurrence que Uk> 1
Donc,
Uk > 1
\frac{1+3Uk}{3+Uk} > 1
P(k+1) est vraie
On vient bien de démontrer

2)
a) déterminer le sens de variation de la suite (Un)
C'est bon , la suite Un est croissante de 0 à 1 et décroissante de 1 à +l'infini

Partie 2:
On considère la suite (Un) définie par U0=2 et, pour tout entier naturel n:
Un+1=\frac{1+0,5Un}{0,5+Un}
1) Conjecturer le comportement de la suite (Un) à l'infini et déterminer les 4 premiers termes au millième près.
On conjecture que la suite tend vers 1
U0= 2
U1= 0,8
U2 = 1,077
U3= 0,976

3) On considère la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n, par :
Vn=\frac{(Un)-1}{(Un) + 1}
a) démontrer que la suite (Vn) est géométrique de raison -1/3
J'ai reussi en faisant Vn+1 / Vn et je retrouve bien la raison

b) Calculer V0  puis écrire Vn en fonction de n
V0 = 1/3
Vn = \frac{1}{3}*(\frac{-1}{3})^n

4) Je suis bloquée
a) montrer que pour tout entier naturel n, on a : Vn différent  de 1
Je n'y arrive pas

b) montrer que, pour tout entier naturel n, on a :
Un=\frac{1+Vn}{1-Vn}
c) déterminer la limite de la suite (Un)

Merci d'avance

Posté par
ty59847
re : suites 21-11-21 à 13:56

J'ai regardé uniquement la 1ère question.
J'ai un peu le sentiment de me faire arnaquer en lisant ta démonstration.

Posté par
co11
re : suites 21-11-21 à 14:03

Bonjour,
Pour commencer, reprends la question 1) Initialisation Ok. Mais l'hérédité ne va pas du tout : ce n'est pas rédigé correctement et tu ne démontres rien.

Posté par
co11
re : suites 21-11-21 à 14:04

Oh , je n'ai encore pas regardé si quelqu'un avait répondu.
Je vous laisse

Posté par
clemence1
re : suites 21-11-21 à 14:41

Oui, j'ai sauté des étapes :
Initialisation :
On sait que U0=2
2 > 1 donc U0 > 1
Donc, P(0) est vraie

Hérédité:
On suppose qu'il existe un k appartenant à N tel que P(k) est vraie, c'est à dire que Uk>1
On veut montrer que P(k+1) est vraie et donc que Uk+1> 1

Donc, Uk+1=\frac{1+3Uk}{3+Uk}
Or, on sait d'après notre Hypothèse de recurrence que Uk>1
Donc,
Uk > 1
1+3Uk > 4
\frac{1+3Uk}{3+Uk} > 4/4
Uk+1> 1
P(k+1) est vraie

Posté par
malou Webmaster
re : suites 21-11-21 à 14:48

Bonjour

depuis quand a-ton le droit de diviser des inégalités membre à membre ?

calcule u_{k+1}-1 et étudie son signe !

(pour comparer deux quantités on peut calculer leur différence et en étudier le signe )

je redonne la main à ceux qui sont déjà intervenus dès que possible ...

Posté par
ty59847
re : suites 21-11-21 à 15:55

7/8  est il plus grand que 1 ?
7  est  supérieur à 4,
8 aussi,
donc 7/8 > 4/4,
c'est ça que tu dis.  Et tu dois bien voir que c'est faux.

Posté par
clemence1
re : suites 21-11-21 à 18:16

Vous parlez de quelle question ?

Posté par
philgr22
re : suites 21-11-21 à 18:20

Ce que tu as ecrit à 14h41 est faux :regarde la remarque de malou

Posté par
co11
re : suites 21-11-21 à 19:44

Rebonsoir, on est plusieurs je vois.
clemence 1, relis  attentivement le message de malou à 14H48 concernant la partie hérédité de la question 1.
Pour la suite, on verra

Posté par
clemence1
re : suites 22-11-21 à 17:45

Ah oui, je vois, mais je sais pas comment faire. Je n ai jamais fait de récurrence sur une fraction. Je pensais que je pouvais faire membre à membre.
Pouvez vous me donner une piste ?

Posté par
philgr22
re : suites 22-11-21 à 17:48

Rebonsoir ,
Suis la remarque de malou

Posté par
clemence1
re : suites 22-11-21 à 18:49

Donc,
Uk+1 - 1 > 0

Mais, dans une recurrence on n'étudie pas les signes et on part de notre hypothèse de recurrence normalement non ?

Posté par
philgr22
re : suites 22-11-21 à 18:54

Oiui l'hérédité consiste ici à supposer que uk[/sub >1 et à montrer que u[sub]k+1>1

Posté par
philgr22
re : suites 22-11-21 à 18:56

Pardon ....
on suppose que Uk >1 et on montre que Uk+1>1

Posté par
clemence1
re : suites 22-11-21 à 19:40

Mais, comment démontrer que  Uk+1>1 ?

Posté par
philgr22
re : suites 22-11-21 à 19:49

Encore une fois ,sers toi du conseil de malou

Posté par
malou Webmaster
re : suites 23-11-21 à 08:37

clemence1 @ 22-11-2021 à 19:40

Mais, comment démontrer que Uk+1>1 ?


je dis et je redis que montrer que Uk+1 >1 ou bien montrer que Uk+1 - 1 > 0 revient exactement à la même chose ....

donc calcule Uk+1 - 1 et étudie son signe

Posté par
clemence1
re : suites 23-11-21 à 18:52

Donc, on va étudier le signe de :
\frac{2(-1+Uk)}{3+Uk} > 0

Posté par
clemence1
re : suites 23-11-21 à 18:53

tout est positif

Posté par
clemence1
re : suites 23-11-21 à 18:55

Donc, Uk+1 - 1 > 0 donc, Uk+1>1
P(k+1) est vraie

Posté par
philgr22
re : suites 23-11-21 à 19:03

Ouf!oui!

Posté par
philgr22
re : suites 23-11-21 à 19:04

Justifie quand meme pourquoi c'est positif..

Posté par
clemence1
re : suites 23-11-21 à 19:28

D'accord, ensuite, vous pouvez vérifier ?

Posté par
clemence1
re : suites 23-11-21 à 19:47

Pour mes autres questions, merci d'avance

Posté par
malou Webmaster
re : suites 24-11-21 à 08:51

partie 1
2) je ne comprends pas ta réponse
partie 2
on te dit au millième, donc tu écriras 0,800

le quotient vn+1/vn : il vaut toujours mieux faire une démonstration en ligne sans quotient (car tu as sans doute pas démontré au préalable que vn 0 pour tout n )
4) rien de compliqué
suppose qu'il vaut 1, et tu arrives tout de suite à une impossibilité

Posté par
clemence1
re : suites 25-11-21 à 11:47

Partie 1:

2) Un+1 - Un = \frac{1+3Un}{3+Un}-Un
                                           \frac{1+3Un-Un(3+Un)}{3+Un}
                                           \frac{1-Un^2}{3+Un}
                                           \frac{(1-Un)(1+Un)}{3+Un}
Si on étudie le signe de cette fonction, on se rend compte que La suite Un est décroissante de 1 à +l'infini et est minorée par 1

Posté par
clemence1
re : suites 25-11-21 à 11:48

Je vais réctifier pour le millième près

Posté par
clemence1
re : suites 25-11-21 à 11:52

4)
Je fais donc V(1) = -1/9

Posté par
malou Webmaster
re : suites 26-11-21 à 08:20

11h47 :
tu confonds les valeurs de la suite, et les rangs des termes de ta suite
tu montres au début de ton exercice que pour tout n de N, tu as un < 1
donc
un+1-un < 0 pour tout n
et la suite est décroissante

11h52
ce n'est pas ce que j'ai dit de faire
relis
vn est défini dans la question 3
suppose qu'il vaut 1
à quoi arrives-tu ?

Posté par
clemence1
re : suites 27-11-21 à 11:15

Non, on a au début de mon exercice :
Un>1

Posté par
malou Webmaster
re : suites 27-11-21 à 13:24

oui, excuse moi, c'est ce que je voulais écrire
tout ce que j'ai écrit au dessus reste juste avec ça



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