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Suites
Bonjour,
Je suis en train de faire un exercice mais je bloque:
Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]-1/3;+
[ par :
f(x) =
On considère la suite (Un) définie par U0=1/2 et pour tout entier naturel n, Un+1= f(Un).
1) Calculer U1
U1=4/5
2) Montrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle ]-1/3;+[.
J'ai dérivé et je trouve que
La fonction f est bien croissante sur cet intervalle
3)
a) montrer par recurrence que pour tout entier naturel n, on a :
Je ne mets pas le détail de mon calcul car j'ai réussi.
b) En déduire que la suite (Un) est convergente.
On sait que la suite est croissante et majorée par 2. Donc, toute suite croissante majorée converge, d'après le théorème de la convergence monotone.
c) On appelle l la limite de la suite (Un). Déterminer la valeur de l
j'ai fait f(x) = x donc
A la fin, on trouve que 3x(1-x) = 0
Donc, soit x=0 soit x=1
Or, comme l
2, l est forcement égale à 1
4)
a )
voir pj
je n'y arrive pas du tout
5) On considère la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n, par :
Vn =
a) Montrer que la suite (Vn) est géométrique de raison 4.
En faisant Vn+1/Vn, je me retrouve à la fin avec : = 4
Donc (Vn) est une suite gémotrique de premier terme V0=1
et Vn= V0 *
Donc, Vn=
b) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a :
Je n'y arrive pas, je suis bloqueé
Car, je sais que :
Un = Vn(1-Un) = 4^n(1-Un)
c) Montrer alors que pour tout entier naturel n, on a :
Retrouver par le calcul la limite de la suite (Un)
Merci d'avance
Clemence
Bonjour clemence1
tu as bien bossé
quelques remarques
Or, comme l2, l est forcement égale à 1
euh, non, ...ce pourrait être aussi bien 0
à rerédiger donc
En faisant Vn+1/Vn,
explique pourquoi Vn ne peut pas être nul, avant de faire ta division
b) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a :
Je n'y arrive pas, je suis bloqueé
Car, je sais que :
Un = Vn(1-Un)
oui et là, rassemble les Un dans un seul membre, et tu vas trouver
Je ne faisais que passer et je laisse volontiers la main à qui peut aider. Merci. 
bonsoir
4a) qu'est ce qui te bloque ?
l'énoncé de la question, l'algorithme ou la programmation python?
dis ce que tu comprends, ça sert de base pour avancer.
carita s'est absentée
on ne t'a pas dit de remplacer Vn
fais exactement ce qu'on te dit de faire
Un = Vn(1-Un)
développe puis rassemble les termes en Un
4a) ... donc tu as compris la question posée
sur tableur voilà ce que l'on a :
dernière colonne : 1-Uk ; cela décroit - normal puisque (Un) est croissante.
>> il faut écrire un programme qui retourne le plus petit indice P pour lequel on a UP < E,
E étant l'écart saisi par l'utilisateur en entrée de programme.
exemple de ce que l'on ferait sans programme : on fixe E = 0.01
on va chercher le ou les termes Uk tel que 1 - Uk < 0.01.
sur le tableau, on part du début de la suite, on égrène les termes les uns après les autres,
jusqu'à ce qu'on repère que 1 - U4 remplit la condition.
le plus petit indice P cherché est donc P = 4, donc on peut s'arrêter.
est-ce un peu plus clair ? ou pas ?
--
étudie l'algorithme donné :
que représente u et n ?
u=0.5
n= 0 --- à quoi correspondent ces initialisations, à ton avis
while (boucle tant que) ---- que va-t-on faire dans cette boucle ?
bonjour clemence1
j'ai pris l'exemple avec E = 10-2 pour t'expliquer le principe de l'algorithme.
dans la fonction (=le programme que tu dois compléter), on gardera la variable E (sans lui donner de valeur).
ce n'est qu'en 4b) que l'on fera tourner le programme pour la valeur particulière E = 10-4,
lorsqu'on appellera le lancement de la fonction seuil(E).
u représente ce que vaux U0 --- oui, on initialise u avec la valeur du 1er terme U0, donc u = 0.5
et n représente l'indice 0 --- tout à fait, l'indice du 1er terme
while 1-Up > E ---- presque : 
, puisque l'on veut obtenir <E; tant que 1-Up est E, on continue.
relis attentivement ce que j'ai écris pour t'expliquer comment on fait pour trouver P "à la main"
à partir de "exemple de ce que l'on ferait sans programme"
(4 lignes)
reprenons
def seuil(E):
u=0.5 # chaque terme s'appellera u (pas d'indice)
n=0 # on initialise au 1er terme (u0 =0 .5)
while 1-u >= E: # est-ce que 1-u>=E ? oui, donc on rentre dans la boucle
u = ... # on calcule le terme suivant, donc u = ...?
n = n + 1 # pourquoi cette ligne est obligatoire ?
return ntu dois donner la formule générale qui permet de calculer le terme suivant.
quelle est la définition (par récurrence) de la suite (Un) ?
comment calcules-tu un terme de rang n+1, sachant que tu as le terme de rang n ?
Un+1 = ....
non
ce que tu écris signifie que l'on aurait besoin de Un+1 pour calculer Un+1...
(et si tu tritures l'expression, on arrive à Un+1=0 ou Un+1=1...)
f(x) =
et
{U0=1/2
{Un+1= f(Un) --- un terme est l'image par f de son précédent
donc
Un+1= ....en fonction de Un
non, directement en fonction de Un.
il est étonnant que tu bloques sur une chose aussi simple.
comment as-tu fait pour calculer U1 à la question 1?
quels calculs ?
bien sur, donc plus généralement :
pour en revenir au code python, quelle formule vas-tu écrire : u = ......?
rappel
on n'utilise pas d'indice ici : le nouveau terme (donc le un+1) sera rangé dans la variable u, en remplacement de l'ancien terme (i.e. un)
voilà
complète le code de la fonction.
utilise le signe * pour la multiplication sous python
b) tu lances son exécution par
print(seuil(0.0001))
def (seuil(0,0001)):
u=0,5
n=0
while 1-Up > 0,0001
u=4*u/(1+3*u)
n=n+1
print (seuil(0.0001))
ce n'est pas le bon ?
pour le b, je remplace dans def seuil (0,0001) :
non, tu conserves E dans la fonction
puis tu lances l'exécution par l'instruction que tu tapes à la suite : print(seuil(0.0001))
python attribuera automatiquement l'argument (= la valeur) 0.0001 à E
ainsi la fonction seuil pourra fonctionner avec n'importe quelle valeur de E que tu préciseras dans l'appel de la fonction.
tu peux par ex essayer print(seuil(0.01)) pour voir si tu retrouves bien l'exemple qu'on a vu au début.
1) while 1-Up > 0,0001 ne fonctionnera pas
la variable Up, python ne connaitra pas;
2) ton indentation n'est pas correcte;
tape bien : (2 points) à la fin de ton instruction while
3) voir cours pour l'indentation à l'intérieur de la boucle
4) la virgule dans les nb décimaux ne marchera pas : il faut le point.
cf 31-12-21 à 14:15
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