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Suites

Posté par
clemence1
30-12-21 à 17:13

Bonjour,
Je suis en train de faire un exercice mais je bloque:

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]-1/3;+[ par :
f(x) = \frac{4x}{1+3x}

On considère la suite (Un) définie par U0=1/2 et pour tout entier naturel n, Un+1= f(Un).

1) Calculer U1
U1=4/5

2) Montrer que la fonction  f est croissante sur l'intervalle ]-1/3;+[.
J'ai dérivé et je trouve que f'(x)= \frac{4}{(1+3x)^2}
La fonction f est bien croissante sur cet intervalle

3)
a) montrer par recurrence que pour tout entier naturel n, on a :
\frac{1}{2}\leq Un\leq Un+1\leq 2
Je ne mets pas le détail de mon calcul car j'ai réussi.

b) En déduire que la suite (Un) est convergente.
On sait que la suite est croissante et majorée par 2. Donc, toute suite croissante majorée converge, d'après le théorème de la convergence monotone.

c) On appelle l la limite de la suite (Un). Déterminer la valeur de l
j'ai fait f(x) = x donc \frac{4x}{1+3x}-x = 0
A la fin, on trouve que 3x(1-x)  = 0
Donc, soit x=0 soit x=1

Or, comme l2, l est forcement égale à 1

4)
a )
voir pj
je n'y arrive pas du tout

5) On considère la suite (Vn) définie pour tout entier naturel n, par :
Vn = \frac{Un}{1-Un}

a) Montrer que la suite (Vn) est géométrique de raison 4.
En faisant Vn+1/Vn, je me retrouve à la fin avec : \frac{4Un}{Un} = 4

Donc (Vn) est une suite gémotrique de premier terme V0=1
et Vn= V0 * 4^n
Donc, Vn= 4^n

b) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a :
Un= \frac{Vn}{Vn+1}
Je n'y arrive pas, je suis bloqueé
Car, je sais que :
Un = Vn(1-Un) = 4^n(1-Un)

c) Montrer alors que pour tout entier naturel n, on a :
Un = \frac{1}{1+0,25^n}
Retrouver par le calcul la limite de la suite (Un)

Merci d'avance

Clemence

Posté par
clemence1
re : Suites 30-12-21 à 17:16

Voici la pièce jointe

Suites

Posté par
malou Webmaster
re : Suites 30-12-21 à 17:23

Bonjour clemence1

tu as bien bossé
quelques remarques
Or, comme l2, l est forcement égale à 1
euh, non, ...ce pourrait être aussi bien 0
à rerédiger donc


En faisant Vn+1/Vn,
explique pourquoi Vn ne peut pas être nul, avant de faire ta division

b) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a :
Un= \frac{Vn}{Vn+1}
Je n'y arrive pas, je suis bloqueé
Car, je sais que :
Un = Vn(1-Un)

oui et là, rassemble les Un dans un seul membre, et tu vas trouver

Je ne faisais que passer et je laisse volontiers la main à qui peut aider. Merci.

Posté par
carita
re : Suites 30-12-21 à 17:33

bonsoir

4a) qu'est ce qui te bloque ?
l'énoncé de la question, l'algorithme ou la programmation python?

dis ce que tu comprends, ça sert de base pour avancer.

Posté par
clemence1
re : Suites 30-12-21 à 18:44

Comment ça : "rassemble les Un dans un seul membre, et tu vas trouver" ?

Posté par
clemence1
re : Suites 30-12-21 à 18:46

bonsoir Carita

4) je ne comprends pas l'algorithme et la programmation python

Posté par
carita
re : Suites 30-12-21 à 18:46

Un = Vn(1-Un)
développe puis rassemble les termes en Un

Posté par
clemence1
re : Suites 30-12-21 à 18:47

D'accord !

Posté par
clemence1
re : Suites 30-12-21 à 18:48

Un= 4^n - 4^n*Un

Posté par
malou Webmaster
re : Suites 30-12-21 à 19:02

carita s'est absentée
on ne t'a pas dit de remplacer Vn
fais exactement ce qu'on te dit de faire

carita @ 30-12-2021 à 18:46

Un = Vn(1-Un)
développe puis rassemble les termes en Un

Posté par
clemence1
re : Suites 30-12-21 à 19:03

d'accord,

Un = Vn - VnUn

Posté par
malou Webmaster
re : Suites 30-12-21 à 19:04

ok
rassemble tout ce qui comporte du Un dans un seul membre

Posté par
carita
re : Suites 30-12-21 à 19:06

4a) ... donc tu as compris la question posée

sur tableur voilà ce que l'on a :
Suites

dernière colonne : 1-Uk ;  cela décroit  - normal puisque (Un) est croissante.

>> il faut écrire un programme qui retourne le plus petit indice P pour lequel on a UP < E,
E étant l'écart saisi par l'utilisateur en entrée de programme.

exemple de ce que l'on ferait sans programme : on fixe E = 0.01
on va  chercher le ou les termes Uk  tel que 1 -  Uk < 0.01.

sur le tableau, on part du début de la suite, on égrène les termes les uns après les autres,
jusqu'à ce qu'on repère que 1 - U4 remplit la condition.

le plus petit indice P cherché est donc P = 4, donc on peut s'arrêter.

est-ce un peu plus clair ? ou pas ?
--

étudie l'algorithme donné :
que représente u et n ?
u=0.5
n= 0    --- à quoi  correspondent ces initialisations, à ton avis

while (boucle tant que)  ---- que va-t-on faire dans cette boucle ?

Posté par
clemence1
re : Suites 30-12-21 à 20:03

Je viens de trouver pour la question 5b, je retombe sur Un=Vn/Vn+1

Posté par
clemence1
re : Suites 30-12-21 à 20:13

Merci

Posté par
clemence1
re : Suites 31-12-21 à 12:15

Bonjour Carita,

Mais E = 10^-4 donc à 0,0001 non ?

Posté par
clemence1
re : Suites 31-12-21 à 12:17

u représente ce que vaux U0
et n représente l'indice 0

Posté par
clemence1
re : Suites 31-12-21 à 12:17

while 1-Up > E

Posté par
carita
re : Suites 31-12-21 à 12:21

bonjour clemence1

j'ai pris l'exemple avec E = 10-2 pour t'expliquer le principe de l'algorithme.

dans la fonction (=le programme que tu dois compléter), on gardera la variable E (sans lui donner de valeur).

ce n'est qu'en 4b) que l'on fera tourner le programme pour la valeur particulière  E = 10-4,
lorsqu'on appellera le lancement de la fonction seuil(E).

Posté par
clemence1
re : Suites 31-12-21 à 12:22

Ah d'accord

Posté par
clemence1
re : Suites 31-12-21 à 12:24

Est ce que j'ai bien définie u et n?

Posté par
carita
re : Suites 31-12-21 à 12:24

u représente ce que vaux U0  --- oui, on initialise u avec la valeur du 1er terme U0, donc u = 0.5
et n représente l'indice 0  --- tout à fait, l'indice du 1er terme

while 1-Up > E   ---- presque : , puisque l'on veut obtenir <E; tant que  1-Up est E, on continue.

Posté par
carita
re : Suites 31-12-21 à 12:25

je m'absente par intermittence, mais je reviens te lire de toutes façons.

Posté par
clemence1
re : Suites 31-12-21 à 12:38

Après, pour u= , je ne vois pas

Posté par
carita
re : Suites 31-12-21 à 12:49

relis attentivement ce que j'ai écris pour t'expliquer comment on fait pour trouver P "à la main"

à partir de "exemple de ce que l'on ferait sans programme"
(4 lignes)

Posté par
clemence1
re : Suites 31-12-21 à 13:23

je vois pas

Posté par
clemence1
re : Suites 31-12-21 à 13:23

en le lisant je comprends mais après pour remplir la ligne je ne vois pas

Posté par
carita
re : Suites 31-12-21 à 14:15

reprenons

def seuil(E):
    u=0.5                 #  chaque terme s'appellera u  (pas d'indice)
    n=0                   #  on initialise au 1er terme (u0 =0 .5)

    while 1-u >= E:       #  est-ce que 1-u>=E ?  oui, donc on rentre dans la boucle
        u = ...           #  on calcule le terme suivant, donc u = ...? 
        n = n + 1         # pourquoi cette ligne est obligatoire ?
    return n

Posté par
clemence1
re : Suites 31-12-21 à 17:16

u = 4/5

Posté par
clemence1
re : Suites 31-12-21 à 17:16

C'est obligatoire pour aller au terme suivant

Posté par
carita
re : Suites 31-12-21 à 17:26

tu dois donner la formule générale qui permet de calculer le terme suivant.

quelle est la définition (par récurrence) de la suite (Un) ?

comment calcules-tu un terme de rang n+1, sachant que tu as le terme de rang n ?

Un+1 = ....

Posté par
clemence1
re : Suites 31-12-21 à 17:39

Un+1 = \dfrac{4*Un+1}{1+3*Un+1}

malou edit > ** utilise plutôt \dfrac que \frac **

Posté par
carita
re : Suites 31-12-21 à 17:49

non
ce que tu écris signifie que l'on aurait besoin de Un+1 pour calculer Un+1...
(et si tu tritures l'expression, on arrive à Un+1=0 ou Un+1=1...)

f(x) = \frac{4x}{1+3x}
et
{U0=1/2
{Un+1= f(Un)     --- un terme est l'image par f de son précédent

donc
Un+1= ....en fonction de Un

Posté par
carita
re : Suites 31-12-21 à 17:50

je dois m'absenter...

Posté par
clemence1
re : Suites 31-12-21 à 17:54

Un+1 = f(Un)

Posté par
carita
re : Suites 31-12-21 à 18:41

non, directement en fonction de Un.

il est étonnant que tu bloques sur une chose aussi simple.
comment as-tu fait pour calculer U1 à la question 1?
quels calculs ?

Posté par
clemence1
re : Suites 31-12-21 à 19:11

U1 = \frac{4*U0}{1+3*U0}

Posté par
carita
re : Suites 31-12-21 à 19:27

bien sur, donc plus généralement :     U_{n+1} = \dfrac{4U_n}{1+3U_n}

pour en revenir au code python, quelle formule vas-tu écrire :   u  = ......?  

rappel
on n'utilise pas d'indice ici : le nouveau terme (donc le un+1) sera rangé dans la variable u, en remplacement de l'ancien terme (i.e. un)

Posté par
clemence1
re : Suites 31-12-21 à 19:42

u = 4u / (1+3u)

Posté par
carita
re : Suites 31-12-21 à 20:22

voilà

complète le code de la fonction.
utilise le signe * pour la multiplication sous python

b) tu lances son exécution par
print(seuil(0.0001))

Posté par
clemence1
re : Suites 01-01-22 à 12:33

Donc, u = 4*u / (1+3*u)

Posté par
clemence1
re : Suites 01-01-22 à 12:38

pour le b, je remplace dans def seuil (0,0001) :

Posté par
carita
re : Suites 01-01-22 à 12:38

oui, vas-y teste ton programme

Posté par
clemence1
re : Suites 01-01-22 à 12:42

def (seuil(0,0001)):
    u=0,5
    n=0
    while 1-Up > 0,0001
    u=4*u/(1+3*u)
    n=n+1
print (seuil(0.0001))

ce n'est pas le bon ?

Posté par
carita
re : Suites 01-01-22 à 12:43

clemence1 @ 01-01-2022 à 12:38

pour le b, je remplace dans def seuil (0,0001) :

non, tu conserves E dans la fonction

puis tu lances l'exécution par l'instruction que tu tapes à la suite :  print(seuil(0.0001))

python attribuera automatiquement l'argument (= la valeur) 0.0001 à E

ainsi la fonction seuil pourra fonctionner avec n'importe quelle valeur de E que tu préciseras dans l'appel de la fonction.
tu peux par ex essayer print(seuil(0.01)) pour voir si tu retrouves bien l'exemple qu'on a vu au début.

Posté par
carita
re : Suites 01-01-22 à 12:43

messages croisés

Posté par
carita
re : Suites 01-01-22 à 12:47

1) while 1-Up > 0,0001  ne fonctionnera pas

la variable Up, python ne connaitra pas;  

2) ton indentation n'est pas correcte;
tape bien  :  (2 points) à la fin de ton instruction while

3) voir cours pour l'indentation à l'intérieur de la boucle

4) la virgule dans les nb décimaux ne marchera pas : il faut le point.

cf  31-12-21 à 14:15

Posté par
clemence1
re : Suites 01-01-22 à 12:56

Mais si 1 - Up n fonctionne pas comment le modifer ?

Posté par
clemence1
re : Suites 01-01-22 à 12:59

def seuil (E):
    u=0.5
    n=0
    while 1-Up > 0.0001:
     u=4*u/(1+3*u)
     n=n+1
    return n

Posté par
clemence1
re : Suites 01-01-22 à 12:59

mince je me suis trompée

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