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Suites

Posté par Profil Devoirs33 09-09-22 à 22:30

Bonsoir à tous,

J'aimerai de l'aide concernant ce premier exercice sur les suites s'il vous plait, merci à tous.

En 2017, la consommation annuelle mondiale de pétrole était de 36 milliards de barils. A cause des engagements internationaux pour limiter cette consommation, elle a augmenté de 1,8 % par an. On note un la consommation annuelle de pétrole pour l'année 2017 + n pour tout entier naturel n, exprimée en milliards de barils. On supposera que celle-ci augmente de 2% et on a u0 = 36
On note Un la consommation mondiale de pétrole l'année 2007+n.

1) Exprime le terme général de la suite (un) par récurrence
2) Déduisez une expression explicite
3) Estimez la consommation mondiale en 2040
4) En 2017, la quantité totale de pétrole restant sur Terre a été estimée à 1697 milliard de barils. En suivant le modèle étudié ici, en quelle année aura-t-on épuisé les réserves pétrolière dont nous disposons ?

1)
2) La raison : 1,8 % d'augmentation donc car ( 1,8 * 100 ) + 1 = 1,018
Un est une suite géométrique : Un = U0 * 1,018n
Un = 36.10^9 * 1,018n

3)    U23 = 36 * 1,018^(23) = 54,26.10^9 barils .
4)

Merci pour votre aide.

Posté par
ty59847
re : Suites 09-09-22 à 23:37

Je pense qu'il y a des erreurs en recopiant l'énoncé. On nous dit que la consommation augmente de 1.8% par an,  et 2 lignes plus bas, on nous dit qu'elle augmente de 2% par an.
1.8% ou 2% ???
Je pense que l'énoncé est : Les objectifs étaient de limiter la consommation, et avoir une augmentation qui ne dépasse pas 1.8% par an. Mais les objectifs n'ont pas été atteints, et on a eu 2%.
Pure hypothèse.

Autre point (détail) : on nous dit qu'on doit faire les calculs, pas en comptant des barils 1 par 1 , mais milliard par milliard.  U0=36.

Ensuite question 4 . Tu as bien employé le mot 'Suite géométrique'. Et donc, on veut calculer la somme des termes d'une suite géométrique.
Ces 5 mots bout-à-bout, ça doit provoquer un déclic chez toi.

Posté par Profil Devoirs33re : Suites 10-09-22 à 07:44

Bonjour,

Oui je constate deux erreurs en recopiant l'énoncé : c'est bien 1,8 % d'augmentation annuelle et c'est bien 2017 + n

Posté par Profil Devoirs33re : Suites 10-09-22 à 07:58

Je n'ai pas réussi à résoudre la 1 et 4.

4) S = (1er terme) * ( 1 - q nbr termes /  1 - q )
  S =  36.10^9 * ( 1 - 1,018? ) 1 - 1,018 )

Je n'arrive pas à trouver le nombre de termes

Posté par
malou Webmaster
re : Suites 10-09-22 à 08:57

Bonjour

en attendant le retour de ty59847

pour 4)
oui, tu cherches donc n tel que
S = 36.10^9 * ( 1 - 1,018n ) (1 - 1,018 ) = 1697

vas-y doucement avec les règles de calcul que tu connais afin de transformer cette équation pour pouvoir la résoudre

Posté par
hekla
re : Suites 10-09-22 à 10:10

Bonjour

l'équation est  36\times 10^9 \times \dfrac{1,018^n -1}{1,018-1}=1697

ou  36\times 10^9 \times \dfrac{1-1,018^n}{1-1,018}=1697

Il manquait le trait de fraction.

Posté par Profil Devoirs33re : Suites 10-09-22 à 10:18

S = 36.10^9 * ( 1 - 1,018n ) (1 - 1,018 ) = 1697
S = 36.10^9 * ( 1 - 1,018n ) (- 0,018 ) = 1697
S = - 36.10^9 * ( 1 - 1,018n ) * 0,018 = 1697
S = -648.10^6 + 36.10^9 * 0,018 * 1,018n = 1697
S = 36.10^9 * 0,018 * 1,018n = 1697 + 648.10^6
S = 36.10^9 * 0,018 * 1,018n = 648 001 697
S =  1,018n = 648 001 697 / 36.10^9 * 0,018

Est-ce correct pour l'instant ?

Posté par
hekla
re : Suites 10-09-22 à 10:30

J'ai réécrit l'équation parce qu'il manquait un trait de fraction

la somme des termes d'une suite géométrique est

 \text{premier terme}\times \dfrac{\text{raison}^{nb  termes}-1}{raison -1} ou

 \text{premier terme}\times \dfrac{1-\text{raison}^{nb  termes}}{1-raison }

En général, je prends la première forme si la raison est strictement supérieure à 1.

le premier terme est u_0  et l'on vous dit que u_0 =36.

Que vient faire le 10^9 ?  Réécrivez l'équation et résolvez-la.

Posté par Profil Devoirs33re : Suites 10-09-22 à 10:30

Bonjour,

Je n'avais pas vu votre message :

S= 36.10^9 * 1,1018n -1 / 1,018 - 1 = 1 697
S= 36.10^9 * 1,1018n -1 /  0,018 = 1 697
S= 36.10^9 * (1,1018n -1)  / 0,018 =  1 697
S = ( 36.10^9 * 1,018n - 36.10^9 ) / 0,018 = 1 697
S = 36.10^9 * 1,018n = 30,546 + 36*10^9
S = 1,018n = 30,546 + 36.10^9 / 36.10^9

On peut simplifier 36.10^9
On obtient : S = 1,018n = 30,546 ?

Posté par
hekla
re : Suites 10-09-22 à 10:37

Abandonnez les S en début de lignes, cela n'a rien à voir avec ce qui suit

  On ne cherche pas S, mais la valeur de n,  pour laquelle la somme vaut 1697.

N'oubliez pas les parenthèses première ligne, après comme le calcul est effectué, il ne reste qu'un nombre donc elles ne serviraient à rien.

Posté par Profil Devoirs33re : Suites 10-09-22 à 10:40

D'accord donc à présent je dois résoudre
  1,018n = 30,546 ?

Posté par
hekla
re : Suites 10-09-22 à 10:56

Le nombre de termes de 0 à n est  n+1

36\times \dfrac{1,018^{n+1}-1}{0,018}=1697

\dfrac{36}{0,018}=2000


2000\times (1,018^{n+1}-1)=1697

Posté par Profil Devoirs33re : Suites 10-09-22 à 11:03

2000 * 1,018n+1 - 2 000 = 1 697

2000 * 1,018n+1 = 1 697 + 2 000
2000 * 1,018n+1 = 3 697

1,018n+1 = 3697 / 2 000

Posté par
ty59847
re : Suites 10-09-22 à 11:03

Attention, il y a des imprécisions. En particulier avec ces 10^9 qui se promènent.
On va inventer un mot. On connaît les mots litres, hectolitre, baril. Je vais inventer le mot milliardbaril.
Tous les ans , on consomme 36 milliardbarils. U0=36.
C'est ce qui est proposé par l'énoncé.

Si on tient absolument à compter des barils, on a U0=36000000000.
Mais dans ce cas, il faut aussi remplacer le 1697 par 1697000000000. Il faut être cohérent.

Ensuite, on peut chercher un vague ordre de grandeur ; en 2007, on consomme 36 milliardbarils, puis ça augmente. Chaque année, on consomme environ 40 ou 50 milliardbarils.
1697 divisé par 50, ça fait environ 34.
En gros, la réponse devrait être proche de 30 ou 35. Si on trouve 300, il y a un truc, on s'est planté quelque part. ce calcul là, on ne le fait qu'au brouillon, en 3 secondes, ça permettra de vérifier à la fin si la réponse qu'on donne est cohérente ou idiote.

Et maintenant, on se lance dans des calculs précis.
L'équation à résoudre est : 36* \dfrac{ 1 - 1,018^n }{ 1 - 1,018 } = 1697
1-1.018^n= 1697*(1-018)/36=0.8485
etc etc.
La dernière étape sera plus compliquée. Jusque là, les calculs étaient des révisions.


Dans tes calculs, tu écris à un moment :
S = ( 36.10^9 * 1,018^n - 36.10^9 ) / 0,018 = 1 697
S représente la somme.
Puis ligne suivante, tu écris :
S = 36.10^9 * 0,018 * 1,018n = 1697 + 648.10^6
Ah, S qui valait 1697 vaut maintenant autre chose.
Tu t'embêtes à écrire S= au début de chaque ligne, et du coup tu écris un truc faux.

Posté par
hekla
re : Suites 10-09-22 à 11:08

Je suis d'accord avec le message de 11 : 03

Maintenant je laisse ty59847 continuer

Posté par Profil Devoirs33re : Suites 10-09-22 à 11:25

1,018n+1 = 3697 / 2 000
1,018n+1 = 1,8485

Posté par
hekla
re : Suites 10-09-22 à 12:04

Puisqu'il ne répond pas, oui, sans problème, ce sont de simples calculs.
Pour déterminer n le \ln n'étant pas encore connu, utilisez un tableur.

Posté par Profil Devoirs33re : Suites 10-09-22 à 12:58

Je n'ai pas vu la notion de In.
Dois-je utiliser la calculatrice ?

Posté par
hekla
re : Suites 10-09-22 à 13:00

C'est bien ce que j'ai dit, utilisez un tableur, celui de la calculatrice ou un autre genre excel ou calc

Posté par Profil Devoirs33re : Suites 10-09-22 à 13:20

Cette fonction sert à trouver l'inconnu en exposant mais je ne sais pas comment l'utiliser.
In ( 1,018 ) ?

Posté par
hekla
re : Suites 10-09-22 à 13:36

Là où vous introduisez la fonction,  tapez  1.018^x

dans l'établissement de la liste, tapez départ 23 et pas de 1

et cherchez à encadrer 1,8485

comme x= n+1 vous en déduirez n puis l'année

Posté par Profil Devoirs33re : Suites 10-09-22 à 14:15

n = 33,44

Posté par
hekla
re : Suites 10-09-22 à 14:20

Presque, n'oubliez pas que vous avez une suite, donc n est un entier naturel.

Posté par
hekla
re : Suites 10-09-22 à 14:22

N'oubliez pas de répondre à la question :

Citation :
en quelle année aura-t-on épuisé les réserves pétrolières dont nous disposons ?

Posté par Profil Devoirs33re : Suites 10-09-22 à 14:29

D'accord donc n = 33

x = n + 1
x = 33 + 1 = 34 ?

Posté par
hekla
re : Suites 10-09-22 à 14:36

Non, vous aviez trouvé pour x, 34 donc on a bien pour n, 33.  Cela se passera, donc en 2017+33.

Posté par Profil Devoirs33re : Suites 10-09-22 à 15:40

D'accord, merci.
J'aimerai également savoir si mes réponses à la question 2 et 3 sont correctes.
Je n'ai pas encore effectué la question 1.

Posté par
hekla
re : Suites 10-09-22 à 15:52

Vous avez répondu en partie,  à la question 1.

Citation :
1,8 % d'augmentation donc car ( 1,8 * 100 ) + 1 = 1,018


Je dirais plutôt
À une augmentation de 1,8 % est associé un coefficient multiplicateur de 1+\left( \dfrac{1,8}{100}\right) =1,018

vous aviez mis * au lieu de /

Il en résulte u_{n+1}=

Question 2  forme explicite 36\times 1,018^n il n'est pas question de 10^9 on ne compte que par milliards

Question 3 en 2040 on a 2017+n=2040 d'où= 23 et u_{23}=36\times 1,018^{23}  il n'y a toujours aucune raison d'ajouter 10^9

Posté par Profil Devoirs33re : Suites 10-09-22 à 16:20

D'accord.
un+1 = Un * q
                                     = 2017 + n * 0,018 ?

Posté par
hekla
re : Suites 10-09-22 à 16:30

Ah ! non, un peu d'attention.

u_n reste u_n  et la raison n'est certainement pas ce que vous avez écrit dans le dernier message

Qu'est-ce qui vous permet d'une manière générale de dire qu'une suite est géométrique ?

Posté par Profil Devoirs33re : Suites 10-09-22 à 16:41

Une suite est géométrique si chaque terme permet de déduire le suivant par multiplication en utilisant la raison q.

Posté par
hekla
re : Suites 10-09-22 à 16:43

Quelle est la raison de la suite dans l'exercice ?

Posté par Profil Devoirs33re : Suites 10-09-22 à 16:44

0,018

Posté par
hekla
re : Suites 10-09-22 à 16:46

Non, ce n'est pas ce que vous avez écrit et utilisé pour les calculs.  

Posté par Profil Devoirs33re : Suites 10-09-22 à 16:48

1,018 je me suis trompée

Posté par
hekla
re : Suites 10-09-22 à 16:53

Là, je suis d'accord.

u_{n+1}=

Posté par Profil Devoirs33re : Suites 10-09-22 à 16:54

un+1 = Un * 1,018 ?

Posté par
hekla
re : Suites 10-09-22 à 17:00

Bien, ce qui clôt la première question.

Question 2 la forme explicite

question 3 il vous reste le calcul à effectuer

Puis, à rédiger votre exercice.

Posté par Profil Devoirs33re : Suites 10-09-22 à 17:06

D'accord.
Merci beaucoup pour votre aide et pour votre patience.

Posté par
hekla
re : Suites 10-09-22 à 17:14

De rien

Bon courage pour cette nouvelle année scolaire.



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