Bonjour,

Il suffit d'utiliser que, pour tout ,

Rouliane

bonjour

en prenant les valeurs extrêmes de sinx et en tenant compte du fait que numérateur et dénominateur sont positifs, on arrive aux expressions demandées.

mais on peut mieux faire :

un=(n+sin n)/(3n+2sin n)=(1/2)( (2n+2sin n)/(3n+2sin n) )=(1/2)( (3n-n+2sin n)/(3n+2sin n) )=(1/2)( 1-n/(3n+2sin n) )

comme -1 <= sinn <= 1

-2 <= 2sinn <= 2

3n-2 <= 3n+2sinn <=3n+2

n>=1 donc tout est positif

1/(3n+2) <= 1/(3n+2sinn) <= 1/(3n-2)

-1/(3n-2) <= -1/(3n+2sinn) <= -1/(3n+2)

1-1/(3n-2) <= 1-1/(3n+2sinn) <= 1-1/(3n+2)

(3n-3)/(3n-2) <= 1-1/(3n+2sinn) <= (3n+1)/(3n+2)

3(n-1)/2(3n-2) <= un <= (3n+1)/2(3n+2)

qui est un intervalle encore plus restreint que celui proposé

A vérifier
.

merci beaucoup donc j'ai dis que comme on sait que
-1<ou egal sin n <ou egal 1 on remplace d'abord sin n par -1 c ca? donc on aura le minimum pour Un et ensuite on remplace sin n par 1 é on aura le maximum c ca??

pas complètement

la fraction, tout en étant positive, sera minimale pour un numérateur minimal et un dénominateur maximal

d'où le -1 au numérateur et le +2 au dénominateur

tu prends le raisonnement opposé pour la fraction maximale

Ne pas oublier de bien préciser que tous les termes, et la fraction, sont positifs; n'indiquer que -1<=sinn<=1 est nécessaire mais pas suffisant.

La démonstration au-dessus montre seulement que l'on peut être encore plus précis dans l'encadrement; en effet, le remplacement de sinn par -1 et +1 dans la même fraction est, normalement, impossible.

A vérifier
.

j'ai bien compris ton raisonnement mercii beaucoup !! mais j'arrive pas a comprendre comment tu peux passer de:
(1/2)( (3n-n+2sin n)/(3n+2sin n) )=(1/2)( 1-n/(3n+2sin n) ) je comprends pas pour le 1-n :s

je le re-écris pour être plus clair :

(1/2)( (3n-n+2sin n)/(3n+2sin n) ) = (1/2)( (3n+2sinn - n )/(3n+2sin n) ) = (1/2)( 1  -n/(3n+2sin n) )

j'en profite pour corriger les erreurs :

comme -1 <= sinn <= 1

-2 <= 2sinn <= 2

3n-2 <= 3n+2sinn <=3n+2

n>=1 donc tout est positif

1/(3n+2) <= 1/(3n+2sinn) <= 1/(3n-2)

-n/(3n-2) <= -n/(3n+2sinn) <= -n/(3n+2)

1-n/(3n-2) <= 1-n/(3n+2sinn) <= 1-n/(3n+2)

(2n-2)/(3n-2) <= 1-n/(3n+2sinn) <= (2n+2)/(3n+2)

(n-1)/(3n-2) <= un <= (n+1)/(3n+2)

cet encadrement est bien meilleur que celui qui t'est proposé.

A vérifier
.

enfet dans mon exercice j'ai :
comme n>ou egal a 1 alor le denomintaeur et nuemrateur sont positifs.

-1< sin n < 1
-2< 2sin n <2
3n-2< 3n+2 sin n<3n+2
comme tout est positif :
1/3n-2 < 1/3n+2 sin n < 1/3n+2
n/3n-2 < n/3n+2sin n < n/3n+2
n+sin n/3n-2 < Un < n+sin n/3n+2

je voulais d'abord resonner comme ca et ensuite indquer que l'on pouvait etre encore plus précis et faire votre demonstration..Le probleme c'est qu'avec ma methode je trouve pas ce qu'on me demande :s

donc cela voudrait dire que 3n+2sin n=1 ?

ton message est de la même heure que le mien : ils se sont croisés

pour pouvoir utiliser la double inégalité -1 <= sinn <= 1, il faut que le sin n'apparaîsse qu'une seule fois

il faut donc modifier l'expression de un de telle sorte que sinn soit unique
.

oui je comprend pk tu as reformulé Un !! je suis d'accord avec ca ! mais comment je pourrais trouver exactement la formule qu'on me demande de démontrer ?

comme je l'ai dit dans mon deuxième message, à 13h16
.

ahhhh oui ca yé j'ai compris :d merciii beaucoup !je continue mon dm ! et si jamais j'ai quelques difficultés pour le reste je pourrais te demander de m'aider?Merci beaucoup en tout cas !!!