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"suites"
Bonjour g un énorme pblm pr un DM alors pr les gens qui aiment et sont forts en suites et en récurrence, je leur demande mon aide SVP Alors voilà:
On définit pour tout entier naturel n > 0 la suite (Un) de nombres réels strictement positifs par
Un = n² / 2^n
1) Pour tout entier naturel n > 0 on pose: Wn = (Un+1) / Un
a) Montrer que lim Un = 1/2 quand n tend vers +
(je l'ai fait)
b) Montrer que pour tout entier naturel n > 0, Wn > 1/2 (je l'ai fait)
c) Trouver le plus petit entier N tel que, si n 
N, Wn < 3/4 (je l'ai fait)
d) En déduire que, si n N, Un+1 = < (3/4)Un (je l'ai fait)
2) On pose, pour tout entier naturel n 5: Sn= U5 + U6 +...+ Un
On se propose de montrer que la suite (Sn)n5 est convergente.
a) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n 5:
Un 
(3/4)^n-5*U5 (alors ici, j'ai du mal à m'en sortir l'initialisation je ne sais pas me servir de quoi quant à l'hérédité n'en parlons même pas)
b) Montrer que pour tout entier naturel n 5:
Sn [1 + 3/4 + (3/4)² +...+ (3/4)^n-5]*U5. (ici, je n'ai absolument aucune idée par où commencer peut-être b1 une récurrence mais ds ce cas je ne saurais mm pas comment commencer)
c) En déduire que, pour tout entier naturel n 5: Sn 4*U5
(cette question je ne peux pas la faire sans la réponse de la 2)b))
3) Montrer que la suite (Sn)n5 est croissante et en déduire qu'elle converge.
(là idem sans les réponses précédentes, je ne peux pas avancer)
J'espère que vs allez pouvoir m'aider car g besoin de comprendre ces notions car g un controle en plus prochainement au pire si vous pouvez me donner les réponses expliquées pour que je puisse comprendre SVP SVP SVP, je vous remercie d'avance. bonne soirée.
bonsoir,
pour le 2) a) il faut utiliser 1 d/
2 b/ faire une sommation de l'inégailté de 2 a/ et on trouve la résultat
2 c/ remarquer que la membre de de droite de l'inégalité du 2 b/ est une somme d'une suite géométrique.
3/ S(n+1) -Sn = ... déduire que S est croissante, et d'après 2 c/ S est majorée donc ...
D.
salut fusionfroide,
je crois que c'est plus simple il faut juste prouver que pour n>4
Pour Axiome :
conclusion il faut mettre les paranthèses sinon la confusion s'installe..
D.
bonsoir,
tu as montré que 
n5 un+1(3/4)un donc
u6(3/4)u5
hypothèse de récurrence:un+1(3/4)n-5u5
il faut montrer que la propriété est héréditaire
un+23/4)un+1u53/4(3/4)n-5u5
desolée j'ai une erreur d'indice dans l'hypothèse de récurrence c'est un(3/4)n-5u5 donc
un+1(3/4)un=>un+1(3/4)n+1-5u5
d'accord je lirai ce que vs avez dit 2M1 à tete reposée car là chui fatigué merci en tt cas si g tjrs des pblm je vs ferai signe bonne soirée !
Bonjour quest° pr disdrometre, je ne comprends pas ce que tu veux dire par "sommation" pr la question 2 b ??
oui d'accord je vois mais en quoi ça nous prouve que pour tout n 5:
Sn [1 + 3/4 + (3/4)² +...+ (3/4)^(n-5)]*U5 ??
Si je suis ce que tu as dit, j'obtient donc:
[1 + 3/4 + (3/4)² +...+ (3/4)^(n-5)]*U5 = U5*((1 - (3/4)^(n-5)) / (1 - 3/4)) ???
Mais en quoi sa me permet de montrer que pour tout n 5, Sn [1 + 3/4 + (3/4)² +...+ (3/4)^(n-5)]*U5 ??? qqun peut m'expliquer svpp
tu as fait 2a
tu as prouvé que Un =< ((3/4)^(n-5))U5 pour n>4
donc en sommant U5 + U6 + .. + Un =< (1 + (3/4) + .. + (3/4)^(n-5)) U5
non ?
D.
donc pour tout n U5 + U6 + .. + Un =< (1 + (3/4) + .. + (3/4)^(n-5)) U5
on pose Sn = U5 + U6 + .. + Un et Gn = (1 + (3/4) + .. + (3/4)^(n-5)) U5
Gn est suite croissante ayant comme limite 4U5 car
1 + (3/4) + .. + (3/4)^(n-5) = ((1 - (3/4)^(n-5)) / (1 - 3/4))
et quand n tend vers +00 (3/4)^(n-5) tend vers 0
donc ((1 - (3/4)^(n-5)) / (1 - 3/4)) tend vers 4
puisque Gn est croissante alors Gn =< 4U5
puisque Sn =< Gn alors Sn =< 4U5
D.
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