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Suites adjacentes

Posté par SweetGhost (invité) 17-04-06 à 16:37

Bonjour, j'aimerais avoir de l'aide !
Merci d'avance

Démontrer que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes et préciser leur limite commune:

a) Un = 3-\frac{1}{n+1}  Vn = 3+\frac{2}{n+3}

--------

Un+1 - Un = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0 donc (Un) est croissante

Vn+1 - Vn = \frac{-2}{(n+4)(n+3)} < 0 donc (Vn) est décroissante

Par contre pour trouver que lim(Un - Vn) = 0 lorsque n tend vers +inf je n'arrive pas ...

--------

b) Un = \frac{1}{n^2+1}  Vn = -Un

c) Un = \frac{-1}{n+2}  Vn = \frac{2}{n+1}

Pour ces deux cas, je n'arrive pas à prouver qu'elles sont croissantes ou décroissantes...
Merci d'avance !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites adjacentes 17-04-06 à 16:41

Bonjour,

Que vaut Un-Vn (après avoir mis au même dénominateur) ?

Nicolas

Posté par SweetGhost (invité)re : Suites adjacentes 17-04-06 à 16:44

Un - Vn = \frac{-3n-5}{(n+1)(n+3)}

Posté par
littleguyre : Suites adjacentes 17-04-06 à 16:48

Bonjour

Il n'est peut-être pas utile de mettre au même dénominateur : les expressions intiales permettent de conclure je crois.

Posté par
Matouille2bre : Suites adjacentes 17-04-06 à 16:49

U(n) -v(n) = -1/(n+1) - 2/(n+3) et chaque terme tend vers 0 ...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites adjacentes 17-04-06 à 16:52

En effet !

Posté par SweetGhost (invité)re : Suites adjacentes 17-04-06 à 16:53

Effectivement ! Je vous remercie !
Je vais voir si j'arrive à faire la suite

Posté par SweetGhost (invité)re : Suites adjacentes 17-04-06 à 17:19

b) Un+1 - Un = \frac{-(2n+2)}{(n^2+2n+2)(n^2+1)} donc (Un) est décroissante

Vn+1 - Vn = \frac{2n+1}{(n^2+2n+2)(n^2+1)} donc (Vn) est croissante

Un - Vn = \frac{2}{n^2+1}

donc ce qui tend bien vers 0

Posté par SweetGhost (invité)re : Suites adjacentes 17-04-06 à 17:29

Je dois faire comment pour la limite commune qu'il faut chercher?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites adjacentes 17-04-06 à 17:33

Tu ne sais pas calculer la limite de Un ?

Posté par
disdrometrere : Suites adjacentes 17-04-06 à 17:43

bonjour,

pour b) il y avait plus simple

on a n < n+1

donc 0 \leq n^2 < (n+1)^2
     1 \leq n^2 +1< (n+1)^2+1
donc 1 \geq \frac{1}{n^2 +1} >\frac{1}{(n+1)^2 +1}> 0
1 \geq u_n > u_{n+1} > 0 un stritement décroissante.

vn = -un

-1 \leq v_n < v_{n+1} < 0 vn stritement croissante

on voit lim un= lim vn =0 car  n tend vers +OO alors n^2 +1 tend vers +OO donc \frac{1}{n^2 +1} vers 0.

K.


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