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Suites adjacentes...

Posté par xav89 (invité) 20-09-06 à 15:35

Salut à tous,
J'ai un Dm sur les suites pour demain, mais voilà, je bloque sur la fin d'un exo, où il faut dire que deux suites sont adjacentes. Voilà le sujet :

Les suites (U_n) et (V_n) sont définies par :
V₀=1
U₀=2

U_n+1= $\frac{U_n+V_n}{2}$
V_n+1= (U_nV_n)

a. Montrer que V_n<U_n puis que :

U_n+1-V_n+1< $\frac{U_n-V_n}{2}$

b. Montrer que les suites (U_n) et (V_n) sont adjacentes.

Tout est là, j'ai déjà réussi le a. et j'ai prouvé pour le b. que U_n décroissante et V_n croissante, il me resterait donc à prouver que :
$\lim_{n\to+\infty}(U_n-V_n)$ =0

...Ce à quoi je n'arrive pas!
Donc si quelqu'un pourrait me donner une piste de départ,...
Merci d'avance,
Xavier

Posté par re : Suites adjacentes... 20-09-06 à 15:49

Bonjour

Tu as
$U_{n+1}-V_{n+1}<\frac{U_n-V_n}{2}$
$U_{n}-V_{n}<\frac{U_{n-1}-V_{n-1}}{2}$
.......

De proche en proche tu arrives à $U_{n+1}-V_{n+1}<\frac{U_0-V_0}{2^{n+1}}$

Et tu en déduis la limite de U_n-V_n

Posté par xav89 (invité)re : Suites adjacentes... 20-09-06 à 16:06

Bonjour,
merci d'avoir répondu si vite, je comprends bien là ou tu veux en venir, mais je ne comprends pas comment tu passes des premières inéquations à :

U_n+1-V_n+1< $\frac{U_0-V_0}{2^{n+1}}$

Pourrais-tu m'expliquer
Merci d'avance

Posté par re : Suites adjacentes... 20-09-06 à 16:11

Je le prends "à l'envers" :

$U_1-V_1<\frac{U_0-V_0}{2}$

$U_2-V_2<\frac{U_1-V_1}{2}$ donc $U_2-V_2<\frac{U_0-V_0}{2^2}$ , et tu procèdes ainsi de proche en proche (tu peuxfaire une récurrence si tu veux)

Posté par xav89 (invité)re : Suites adjacentes... 20-09-06 à 16:38

Ah oui ca y est je comprends Merci beaucoup!!!

Posté par re : Suites adjacentes... 20-09-06 à 16:40

Posté par xav89 (invité)re : Suites adjacentes... 20-09-06 à 17:38

Désolé de vous redérangez, mais j'ai encore un problème, comme j'ai un prof assez maniaque, j'ai voulu me lancer dans la récurence, mais c'est encore pire, j'ai du faire un mauvais choix d'hypothèses et de conclusion . Donc si vous pourriez m'aider...
Merci d'avance

Posté par xav89 (invité)re : Suites adjacentes... 20-09-06 à 19:47

SVP un peu d'aide

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