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Suites calculs avec Un et Un+1

Posté par
solenelgl04
04-12-21 à 15:31

Bonjour, je fais un exercice pour m'entraîner au contrôle et une question me pose problème. Je remercie par avance ma personne qui m'apportera de l'aide.

Soit la suite (Un) définie sur * par U1= 3/2 et Un+1=(nUn+1)/2(n+1).
On pose Vn= nUn-1

1. Montrer que Vn est géométrique

J'ai pris
Vn+1=(n+1)(Un+1 ) - 1
puis j'ai remplacer Un+1 par la fraction que l'on a dans l'énoncé, j'ai trouvé que Vn+1=1/2Vn
La raison est 1/2 et le premier terme V1= 1*U1 -1=1/2


2. En déduire que pour tout n * Un=(1+0,5^n)/n

J'ai fais: Vn=nUn-1
Vn/n=Un-1
(Vn+1)/n=Un
Sachant que Vn=V1 *qn
alors Un=(1+0,5n) /n


3.Déterminer la limite de la suite Un

Comme lim1+0,5n=0
et que lim n = + alors lim (1+0,5n) /n = 0


4.Justifier que pour tout n*:
Un+1-Un =-(1+0,5n(1+0,5n))/n(n+1)
En déduire le sens de variation de la suite Un

C'est ici que je suis bloqué
J'ai fait quand même :
Un+1 -Un = ((nUn+1)/2(n+1)) - ((1+0,5n)/n)


Merci beaucoup à la personne qui me débloquera.

Posté par
carpediem
re : Suites calculs avec Un et Un+1 04-12-21 à 15:46

salut

réduis au même dénominateur ...

Posté par
hekla
re : Suites calculs avec Un et Un+1 04-12-21 à 15:54

Bonjour

On commence à 1  donc v_n=v_1q^{n-1} il faudra justifier correctement

\lim_{n\to +\infty} 1+0,5^n=1 heureusement sinon vous aviez une forme indéterminée

 u_{n+1}-u_n=\dfrac{1+(0,5)^{n+1}}{n+1}-\dfrac{1+(0,5)^n}{n}

réduction au même dénominateur

Posté par
solenelgl04
re : Suites calculs avec Un et Un+1 04-12-21 à 15:55

J'ai réduis ça me donne :
Un+1 -Un=(((nUn+1)n) /2(n+1)n) - (((1+0,5n) 2(n+1))/2(n+1)n)

Seulement ce qui me bloque c'est le numérateur nUn+1n
je vois pas comment le calculer

Posté par
hekla
re : Suites calculs avec Un et Un+1 04-12-21 à 16:00

Pourquoi prenez-vous deux écritures différentes ?

Posté par
solenelgl04
re : Suites calculs avec Un et Un+1 04-12-21 à 16:13

J'ai pris le Un+1 qu'on me donne dans l'énoncé et le Un de la question deux. Mais je viens de comprendre que l'écriture que vous m'avez fourni est bien plus adapté.

Ça donne
((1+0,5n+1) n) / (n+1)n - ((1+0,5n) (n+1) / (n+1)n

Posté par
hekla
re : Suites calculs avec Un et Un+1 04-12-21 à 16:19

Ce sont les expressions que l'on vous a demandé de montrer

Il est peu adéquat de prendre deux textes différents.  Garder u_n eut pu peut-être aboutir

Maintenant, il faut développer et simplifier

Avez-vous rectifié les réponses aux questions précédentes ?

Posté par
solenelgl04
re : Suites calculs avec Un et Un+1 04-12-21 à 16:33

Oui j'ai rectifié.
En ce qui concerne le développement je suis bloquée quand je doit faire
n 0,5n+1

Posté par
hekla
re : Suites calculs avec Un et Un+1 04-12-21 à 16:35

a^{n+p}=a^n\times a^p

Posté par
solenelgl04
re : Suites calculs avec Un et Un+1 04-12-21 à 16:47

j'ai trouvé en développant :

((n+0,5n+(n/2n)) /(n+1)n) - ((n+(n/2n) +1+0,5n/(n+1)n)

Posté par
hekla
re : Suites calculs avec Un et Un+1 04-12-21 à 16:58

Pourquoi un mélange de 0,5 et \dfrac{1}{2} ?

 u_{n+1}-u_n=\dfrac{1+(0,5)^{n+1}}{n+1}-\dfrac{1+(0,5)^n}{n}

=\dfrac{n(1+0,5\times 0,5^n)-(n+1)(1+0,5^n)}{n(n+1}

Comme il n'y a que le numérateur à transformer

n(1+0,5\times 0,5^n)-(n+1)(1+0,5^n)

n(1+0,5\times 0,5^n)-n(1+0,5^n)-(1+0,5^n)

n+0,5\times n\times 0,5^n-n-n\times0,5^n-(1+0,5^n)

Posté par
solenelgl04
re : Suites calculs avec Un et Un+1 04-12-21 à 18:13

D'accord merci beaucoup je pense avoir compris la résolution

Posté par
hekla
re : Suites calculs avec Un et Un+1 04-12-21 à 18:18

C'est simple
soit vous avez trouvé ce que l'on demande par conséquent il n'y a pas de problème
soit vous n'avez pas trouvé, indiquez votre réponse pour vous aider

De rien



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