Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

Suites croisées

Posté par
Nijiro
27-05-21 à 14:02

Bonjour!

On se propose d'étudier les deux suites (x_n) et (y_n) définies par:
x_0=a, y_0=b et pour tout n:

x_{n+1}=\frac{px_n+qy_n}{p+q} et y_{n+1}=\frac{qx_n+py_n}{p+q}
où a,b,p,q sont des réels strictement positifs tels que 0<a<b et 0<q<p.

1/ a. Déterminer pour tout n, x_n+y_n et x_n-y_n, et en déduire l'expression de chacun de x_n et y_n en fonction de a, b, q, p et n.

      b. En déduire que les suites (x_n) et (y_n) convergent vers  une limite commune l=\frac{a+b}{2}.

2/ Retrouver le résultat de 1/b en établissant que les suites (x_n) et (y_n) sont adjacentes.

J'ai résolu les deux questions 1/a et 1/b. Pour la question 2, établir que les deux suites sont adjacentes est facile mais je ne sais pas comment en déduire la limite commune entre les deux sans utiliser les résultats de la question 1/a.

Merci d'avance^^.

Posté par
Nijiro
re : Suites croisées 27-05-21 à 14:11

Les résultats de la question 1/a:
J'ai démontré que les suites \beta _n=x_n+y_n et \alpha _n=x_n-y_n sont arithmétiques puis j'ai déduit l'expression de x_n+y_n et de x_n-y_n:

x_n+y_n=a+b\\ x_n-y_n=(a-b)(\frac{p-q}{p+q})^n

Et donc:
x_n=\frac{a+b}{2}-\frac{b-a}{2}(\frac{p-q}{p+q})^n \\ y_n=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}(\frac{p-q}{p+q})^n

Posté par
breuil
re : Suites croisées 27-05-21 à 14:52

Bonjour
petite rectification: (xn-yn) est géométrique.

Sachant que les deux suites ont la même limite, elles ont la même limite que leur moyenne qui est constante . Je ne vois pas d'autre moyen. On utilise une partie du 1°.
Mais je fais appel à toutes les autres idées.

Posté par
Nijiro
re : Suites croisées 27-05-21 à 14:58

Oui, elles sont géométriques. Désolée, je n'ai pas fait attention à ce que j'ai écrit..

Posté par
Nijiro
re : Suites croisées 27-05-21 à 15:02

Quelle partie de 1 je dois utiliser? Si j'utilise l'expression de U_n et de V_n, quelle est donc l'utilité de montrer que les deux suites sont adjacentes?...

Posté par
carpediem
re : Suites croisées 27-05-21 à 17:58

salut

je dois dire que je ne vois pas non plus comment déterminer la limite sans utiliser 1/

une remarque :    aucune condition n'est nécessaire sur a et b
                                      une seule condition est nécessaire sur p et q  :  p + q 0

ensuite il peut y a voir un pb de convergence si p - q > p + q ...

Posté par
Nijiro
re : Suites croisées 28-05-21 à 15:56

carpediem @ 27-05-2021 à 17:58

une seule condition est nécessaire sur p et q  :  p + q 0
ensuite il peut y a voir un pb de convergence si p - q > p + q ...

Salut!
Nijiro @ 27-05-2021 à 14:02


On se propose d'étudier les deux suites (x_n) et (y_n) définies par:
x_0=a, y_0=b et pour tout n:

x_{n+1}=\frac{px_n+qy_n}{p+q} et y_{n+1}=\frac{qx_n+py_n}{p+q}
où a,b,p,q sont des réels strictement positifs tels que 0<a<b et 0<q<p.

Donc p+q0 et p-q<p+q

Posté par
Nijiro
re : Suites croisées 28-05-21 à 16:12

(x_n) et (y_n) sont adjacentes, alors elles convergent vers une limite commune l telle que : x_n<l<y_n ( (x_n) est croissante et  (y_n) est décroissante)

Donc:

x_n<l<y_n\\\Rightarrow \frac{a+b}{2}-\frac{b-a}{2}(\frac{p-q}{p+q})^n<l< \frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}(\frac{p-q}{p+q})^n\\\Rightarrow -\frac{b-a}{2}(\frac{p-q}{p+q})^n<l-\frac{a+b}{2}<\frac{b-a}{2}(\frac{p-q}{p+q})^n

on a:

\lim_{n\rightarrow +\infty }-\frac{b-a}{2}(\frac{p-q}{p+q})^n=\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{b-a}{2}(\frac{p-q}{p+q})^n=0

car :0<\frac{p-q}{p+q}<1

donc d'après le théorème des Gendarmes:

\lim_{n\rightarrow +\infty }l-\frac{a+b}{2}=0\Rightarrow l=\frac{a+b}{2}

Posté par
breuil
re : Suites croisées 28-05-21 à 17:13

Bonjour , plus simple puisque de toute façon on utilise le 1
xn et yntendent vers L donc
1/2(x n+ yn) tend vers ....(par addition et division)
Or 1/2(x n+ yn) = (a + b)/2, constante.
Donc l = ...

Posté par
Nijiro
re : Suites croisées 28-05-21 à 17:28

Salut!
Oui, et c'est mieux qu'encadrer.
Merci ^^!!

Posté par
breuil
re : Suites croisées 28-05-21 à 17:29

Re

Posté par
carpediem
re : Suites croisées 28-05-21 à 19:51

de toute façon on ne peut pas déterminer la limite commune sans mettre les mains dans le cambouis ... comme en 1/ en utilisant les deux suites auxiliaires (somme et différence)

2/ permet simplement de prouver que les suites ont même limite ...

la condition a < b et 0 < p < q permet de décider quelle suite va être croissante / décroissante pour 2/

mais on peut réfléchir un peu : sur un axe gradué notons A_n et B_n les points d'abscisses x_n et y_n

sous ces conditions alors pour tout n An + 1 et Bn + 1 sont les barycentres des points (An, p/(p + q)) et (Bn, q/(p + q)) et des points (An,q/(p + q)) et (Bn, p/(p + q))

et la somme des poids est 1 donc ces barycentres appartiennent au segment [An, Bn]

le fait que q < p implique donc que p/(p + q) > 1/2 et q/(p+ q) < 1/2 ...

pour réfléchir on peut étudier la double suite :

Nijiro @ 27-05-2021 à 14:02

On se propose d'étudier les deux suites (x_n) et (y_n) définies par:
x_0=a, y_0=b et pour tout n:

{\red y_{n+1}} = \dfrac{px_n+qy_n}{p+q} et {\red x_{n+1}} = \dfrac{qx_n+py_n}{p+q}   où a < b et 0 < q < p



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1502 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !