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Suites croisées
Bonjour!
On se propose d'étudier les deux suites et
définies par:
,
et pour tout n
:
et
où a,b,p,q sont des réels strictement positifs tels que 0<a<b et 0<q<p.
1/ a. Déterminer pour tout n, et
, et en déduire l'expression de chacun de
et
en fonction de a, b, q, p et n.
b. En déduire que les suites et
convergent vers une limite commune
.
2/ Retrouver le résultat de 1/b en établissant que les suites et
sont adjacentes.
J'ai résolu les deux questions 1/a et 1/b. Pour la question 2, établir que les deux suites sont adjacentes est facile mais je ne sais pas comment en déduire la limite commune entre les deux sans utiliser les résultats de la question 1/a.
Merci d'avance^^.
Les résultats de la question 1/a:
J'ai démontré que les suites et
sont arithmétiques puis j'ai déduit l'expression de
et de
:
Et donc:
Bonjour
petite rectification: (xn-yn) est géométrique.
Sachant que les deux suites ont la même limite, elles ont la même limite que leur moyenne qui est constante . Je ne vois pas d'autre moyen. On utilise une partie du 1°.
Mais je fais appel à toutes les autres idées.
Quelle partie de 1 je dois utiliser? Si j'utilise l'expression de et de
, quelle est donc l'utilité de montrer que les deux suites sont adjacentes?...
salut
je dois dire que je ne vois pas non plus comment déterminer la limite sans utiliser 1/
une remarque : aucune condition n'est nécessaire sur a et b
une seule condition est nécessaire sur p et q : p + q 
0
ensuite il peut y a voir un pb de convergence si p - q > p + q ...
une seule condition est nécessaire sur p et q : p + q
0
ensuite il peut y a voir un pb de convergence si p - q > p + q ...
Salut!
On se propose d'étudier les deux suites
:
où a,b,p,q sont des réels strictement positifs tels que 0<a<b et 0<q<p.
Donc p+q
0 et p-q<p+q et
sont adjacentes, alors elles convergent vers une limite commune
telle que :
(
est croissante et
est décroissante)
Donc:
on a:
car :
donc d'après le théorème des Gendarmes:
Bonjour , plus simple puisque de toute façon on utilise le 1
xn et yntendent vers L donc
1/2(x n+ yn) tend vers ....(par addition et division)
Or 1/2(x n+ yn) = (a + b)/2, constante.
Donc l = ...
de toute façon on ne peut pas déterminer la limite commune sans mettre les mains dans le cambouis ... comme en 1/ en utilisant les deux suites auxiliaires (somme et différence)
2/ permet simplement de prouver que les suites ont même limite ...
la condition a < b et 0 < p < q permet de décider quelle suite va être croissante / décroissante pour 2/
mais on peut réfléchir un peu : sur un axe gradué notons A_n et B_n les points d'abscisses x_n et y_n
sous ces conditions alors pour tout n An + 1 et Bn + 1 sont les barycentres des points (An, p/(p + q)) et (Bn, q/(p + q)) et des points (An,q/(p + q)) et (Bn, p/(p + q))
et la somme des poids est 1 donc ces barycentres appartiennent au segment [An, Bn]
le fait que q < p implique donc que p/(p + q) > 1/2 et q/(p+ q) < 1/2 ...
pour réfléchir on peut étudier la double suite :
On se propose d'étudier les deux suites
:
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