Inscription / Connexion Nouveau Sujet
suites croissantes et décroissantes
alors un petit problême pour quelques questions
on considère les suites Un= (1/n^3)(1²+2²+...+(n-1)²)
et Vn= (1/n^3)(1²+2²+...+n²)
on sait que 1²+2²+...+k²=(k(k+1)(2k+1))/6
donc il faut en déduire une expression de Un et de Vn en fonction de n
et ensuite démontrer que Un est une suite croissante et Vn une suite décroissante
(en comparant les rapports Un+1/Un et Vn+1/Vn a 1)
alors mon probleme c'est de prouver quelles sont respectivement effectivement croissante et décroissante
comme expression de Un en fction de n j'ai
Un=(1/n²)*[(n-1)(2n-1)]/6
et pour Vn
Vn=(1/n²)*[(n+1)(2n+1)]/6
il me semble que ces calculs sont justes et s'ils le sont je suis bloquée
un petit peu daide svp
Un+1=(1/(n+1)^3)(1²+2²+-------+n²)=[1/((n+1)^3)(n(n+1)(2n+1)/6)
=[1/(6(n+1)²][n(2n+1)]
Un+1/Un ={[1/(6(n+1)²][n(2n+1)]}/[(1/6n²)(n-1)(2n-1)]
=[n^3(2n+1)]/[(n+1)²(n-1)(2n-1)]
il suffit de montrer que [n^3(2n+1)]- [(n+1)²(n-1)(2n-1)] > 0
U(n) >= 0 pour tout n. (1)
U(n)= (1/n³)(1²+2²+...+(n-1)²)
U(n)= (1/n³)((n-1)n.(2n-1))/6
U(n)= (1/n²)(n-1)(2n-1)/6
U(n+1) = (1/(n+1)²)(n+1-1)(2n+2-1)/6
U(n+1) = (1/(n+1)²).n.(2n+1)/6
U(n+1) /U(n) = ((1/(n+1)²).n.(2n+1)/[(1/n²)(n-1)(2n-1)]
U(n+1) /U(n) = n³.(2n+1)/[(n+1)²(n-1)(2n-1)]
U(n+1) /U(n) = n³.(2n+1)/[(n³+n²-n-1)(2n-1)]
U(n+1) /U(n) = n³.(2n+1)/(2n^4+2n³-2n²-2n-n³-n²+n+1)
U(n+1) /U(n) = n³.(2n+1)/(2n^4+n³-3n²-n+1)
U(n+1) /U(n) = n³.(2n+1)/(n³(2n+1) -3n²-n+1)
Pour n >= 1
-n+1 <= 0
et donc comme -3n² < 0, on a: -3n²-n+1 < 0 pour tout n >= 1
--> dénominateur de U(n+1) /U(n) < numérateur de U(n+1) /U(n) (mais reste positif par (1))
et donc avec (1) --> U(n+1) /U(n) >= 1
U(n+1) >= U(n)
et la suite Un est croissante.
-----
Sauf distraction. 
Annuler
connectez vous