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suites et encadrements
bonjour !!
alors voila j'ai un DM de maths sur les suites ...
on a (Un) def par Uo = 0 et Un+1 = racine carrée(Un+6)
on a précédemment prouvé que :
0< Un < Un+1 < 3 (< : inférieur ou égal)
ms ensuite j'ai pb, il faut montrer que :
0< 3-Un+1 < 1/3 (3-Un) (pr 0< 3-Un+1) c bn ms pr l'autre partie je trouve pas...
pareil là je ne trouve nn plus, il faut montrer que :
0< 3-Un < 1/(3^(n-1) (pareil, pr la première inegalité c bn : 0< 3-Un) ms après .... je nage
si vous pouviez m'éclairer ou me sauver de ma noyade ... merci d'avance !
Je fais le premier.
0 <= U(n) <= U(n+1) <= 3
U(n+1) <= 3
-U(n+1) >= -3
3-U(n+1) >= 0
0 <= 3-U(n+1) (1)
---
3-U(n+1) - 1 + (1/3) U(n) = 3-racine(U(n) +6) - 1 + (1/3) U(n)
3-U(n+1) - 1 + (1/3) U(n) = 2 - racine(U(n) +6) + (1/3) U(n) (2)
f(x) = 2 - racine(x + 6) + (1/3).x
f '(x) = -1/(2V(x + 6)) + (1/3) (avec V pour racine carrée)
Pour x >= 0 , f '(x) >= -1/(2V(6)) + (1/3)
f '(x) >= 0,12...
et a fortiori f '(x) >= 0
f '(x) > 0 pour x >=0 --> f(x) est croissante.
f(x) = 0 pour 2 - racine(x + 6) + (1/3).x = 0
racine(x + 6) = 2 + (1/3)x
x+6 = 4 + (1/9)x² + (4/3)x
9x+54 = 36 + x² + 12x
x² + 3x - 18 = 0
(x+6)(x-3) = 0
--> x = 3 (puisque x >= 0)
On a donc f(x) <= 0 pour x <= 3
Comme 0 <= U(n) <= 3 , on a f(U(n)) <= 0
Soit: 3-racine(U(n) +6) - 1 + (1/3) U(n) <= 0
3-racine(U(n) +6) <= 1 - (1/3).U(n)
3 - U(n+1) <= 1 - (1/3).U(n)
3 - U(n+1) <= (1/3).(3 - U(n)) (3)
(1) et (3) -->
0 <= 3-U(n+1) <= (1/3).(3 - U(n))
-----
Sauf distraction. 
oui ok, je vois !! merci bien
mais il me semble qu'il faut le faire par récurrence ...
pr l'initialisation c'est bon, mais pr l'hérédité ...
est ce que vous pourriez encore m'aider car là je ne vois vraiment pas ... et pourtant je cherche je cherche mais à chaque fois je suis coincée
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