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Suites et fonction carré

Posté par
dodo 01-04-13 à 17:33

Bonjour, alors voilà j'ai un petit problème avec un exercice où l'on essaie de calculer l'aire de la partie sous la courbe de la fonction carré (sur l'intervalle [0;1]).
En utilisant, la "méthode des rectangles", on se sert de 2 suites: Vn qui est la somme des aires des n-1 rectangles sous la courbe
  et Wn la somme des aires des n rectangles au-dessus de la courbe.

J'ai un problème pour exprimer Vn et Wn en fonction de n.

Merci par avance de votre aide !

Posté par
cailloux Correcteurre : Suites et fonction carré 01-04-13 à 18:12

Bonjour,

Un dessin avec n=10:

Suites et fonction carré

Posté par
walire : Suites et fonction carré 01-04-13 à 18:20

Bonjour caillous
Permettez-moi de vous demander quelque chose: j'aimerais savoir comment réaliser un tel dessin.
Est-ce qu'il y a un logiciel particulier?
Merci de me répondre!

Posté par
cailloux Correcteurre : Suites et fonction carré 01-04-13 à 18:21

u_n=\dfrac{1}{n}\left[f\left(\dfrac{1}{n}\right)+f\left(\dfrac{2}{n}\right)+\cdots +f\left(\dfrac{n-1}{n}\right)+f\left(\dfrac{n}{n}\right)\right]

u_n=\dfrac{1}{n}\left[\dfrac{1^2}{n^2}+\dfrac{2^2}{n^2}+\cdots +\dfrac{(n-1)^2}{n^2}\right]

u_n=\dfrac{1^2+2^2+\cdots +(n-1)^2+n^2}{n^3}

A ce stade, il est commode de savoir que: 1^2+2^2+\cdots +(n-1)^2+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}

du coup, u_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}

De même:

v_n=\dfrac{1}{n}\left[f\left(\dfrac{1}{n}\right)+f\left(\dfrac{2}{n}\right)+\cdots +f\left(\dfrac{n-1}{n}\right)\right)\right]

On trouve au final:

v_n=\dfrac{n(n-1)(2n-1)}{6n^3}

Posté par
cailloux Correcteurre : Suites et fonction carré 01-04-13 à 18:25

Bonjour wali,

Citation :
j'aimerais savoir comment réaliser un tel dessin.

Est-ce qu'il y a un logiciel particulier?


Oui: geogebra, logiciel libre et gratuit que tu peux télécharger.

Une aide est intégrée au logiciel (très bien fait par ailleurs.)

Posté par
walire : Suites et fonction carré 01-04-13 à 18:25

Merci beaucoup!

Posté par
cailloux Correcteurre : Suites et fonction carré 01-04-13 à 18:27

De rien wali

Posté par
dodore : Suites et fonction carré 01-04-13 à 19:13

Merci beaucoup Cailloux pour votre réponse!

Par contre, je n'arrive toujours pas à comprendre d'où viennent f(1/n), f(2/n) etc...
Et Vn = 1/n *(1²/n² + 2²/n² +... + (n-1)²/n²)
                = (1² + 2² +...+ (n-1)²)/n3
                = n(n-1)(2n-1)/6n3

C'est ça?
Encore merci de vos réponses.

Posté par
cailloux Correcteurre : Suites et fonction carré 02-04-13 à 19:16

Citation :
Par contre, je n'arrive toujours pas à comprendre d'où viennent f(1/n), f(2/n) etc..


On divise l' intervalle [0,1] en n parties égales de "longueur" \dfrac{1}{n}

Sur le dessin, avec n=10, on retrouve ces 10 parties égales qui correspondent aux bases des rectangles en abscisse de longueur \dfrac{1}{10}=0.1

Les abscisses successives sont 0,\dfrac{1}{10},\dfrac{2}{10}, \cdots ,\dfrac{9}{10},1

Et les hauteurs des rectangles sont f\left(\dfrac{1}{10}\right),f\left(\dfrac{2}{10}\right),\cdots ,f\left(\dfrac{9}{10}\right), f(1) où f est ici la fonction carré.

Si n est quelconque, les abscisses successives valent 0,\dfrac{1}{n},\dfrac{2}{n},\cdots \dfrac{n-1}{n},1

et les hauteurs des rectangles successifs sont f\left(\dfrac{1}{n}\right),f\left(\dfrac{2}{n}\right),\cdots ,f\left(\dfrac{n-1}{n}\right), f(1)

où f est encore la fonction carré.

Citation :
Vn = 1/n *(1²/n² + 2²/n² +... + (n-1)²/n²)
= (1² + 2² +...+ (n-1)²)/n3
= n(n-1)(2n-1)/6n3

C'est ça?


Oui!

Posté par
dodore : Suites et fonction carré 02-04-13 à 21:21

D'accord, c'est plus clair maintenant!
Encore merci beaucoup pour l'aide et les réponses, c'est très gentil de votre part.

Posté par
cailloux Correcteurre : Suites et fonction carré 03-04-13 à 08:53


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