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suites et fonctions
Bonjour à tous,
Pour x 
-2 , on pose f(x) = 
(2+x).
On définit une suite (Un) par U0 = 0 et pour tout entier naturel n, Un+1 = f(Un).
1. a) Montrer que f est une fonction strictement croissante sur [ -2;+
].
b) Construire la courbe de f en limitant la construction à l'intervalle [0 ; 3] et construire la droite d'équation y = x.
c) Résoudre l'équation f(x) = x puis l'inéquation f(x)> x.
2. Placer sur la figure les points Mn(Un , Un) et Nn(Un, Un+1) pour 0 
x 3. Construire la ligne brisée M0N0M1N1M2N2M3N3. Indiquer comment faire cette construction sans calcul.
3.Montrer par récurrence que : 
n 
0 Un Un+1 2
4. Montrer que x [0 ; 2], 0 2 - f(x) (2 - x)/2 . Que donne cette relation pour x = Un.?
5. Montrer par récurrence que n 0 2 - Un 1/(2n-1) . Conclusion
1. c) f(x) = x 
x=2
f(x) > x x [0 ; 2]
2.Je suis parvenue à construire la courbe.
Mais je bloque totalement sur les 3 dernières questions, qqn pourait-il m'aider?
Merci d'avance.
vraiment personne ne peut m'aider sur la question 4 en particulier pour montrer que 2 - f(x) (2-x)/2 ?
ce serait gentil...
Pour la question 4., l'inégalité de gauche est triviale sur [0,2] ....
Pour l'inégalité de droite, il faut penser à écrire que
En développant le numérateur, et en minorant le dénominateur, on obtient alors l'inégalité proposée 
1/
MOntrer que f est croissante il faut calculer sa dérivée
faire le tableau de variation sur l ensemble de definition
resoudre f(x)=x alors cela donne V(2+x)=x c est à dire 2+x=x² cela donne une parabole
resoudre alors f(x)>x c'est à dire f(x)-x>0 à partir de ce que tu viens de trouvers
2/
En fait la construction doit suivre la parabole trouver à la questin c du 1
cela correspond à f(x)=x c'est à dire que Mx(f(x),f(x)) etc...
3/
Déjà Un est croissante car f(x) est croissante donc Un+1>Un
ensuite Un>0 car c'est une fonction positive
0<U0<U1<...<Un<Un+1
Ensuite il faut montrer cette inégalité par récurrence donc on part de U0
U0<U1 et U1=V(2+0)=V2<2
Donc vrai pour U0 0<=U0<=I1<=2
Ensuite on suppose vrai pour Un et faut le vérifier pour Un+1
0<=Un-1<=Un<=2
0<=f(Un-1)<=f(Un)<=f(2) car f croissante
0<=Un<=Un+1<=V(2+2)=2
donc vrai pour Un+1
donc cqfd
4/
pour x appartenant à 0;2 on a 0<=2-f(x)<=(2-x)/2
2-f(x)=2-V(2+x) or V(2+x) cf question 1 graphique pour x appartenant à 0;2 est positif.
0<=2-f(x) on peut faire apparaitre a²-b² en multipliant et divisant par 2+V(2+x)
2-f(x)=2-V(2+x)=(4-(2+x))/(2+V(2+x))=(2-x)/(2+V(2+x))<=(2-x)/2 car 1/(2+V(2+x) fonction décroissante entre 0 et 2
pour x=Un on a
0<=2-f(Un)<=(2-Un)/2
0<=2-Un+1<=(2-Un)/2
5/
On peut écrire cette inégalité
0<=2-Un<=(2-(Un-1))/2)
...
0<=2-U2<=(2-U1)/2
0<=2-U1<=(2-U0)/2
donc en fait par reccurrence où là si l on somme on obtient la bonne inegalite
Ce que l on peut conclure c est que Un tend vers 2
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