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Suites et inégalités
Bonjour !
J'ai un exo sur les suites et je n'y arrive pas pour certaines questions.. :
(rappel : 1+2+...+n = n(n+1)/2 )
On considère 2 suites (Un) et (Vn) définies pour tout entier naturel non nul par :
Un = sin 1/n² + sin 2/n² + ..... + sin n/n²
Vn = 1/n² + 2/n² + ..... + n/n²
1) Démontrer que la suite Vn est convergente de limite 1/2 >> j'ai réussi ^^
2) Justifier que, pour tout n
1 : 1^3 + 2^3 + .... + n^3 
n^4
3) En appliquant l'inégalité x- x^3/6sinxx avec les différentes valeurs de x suivantes : 1/n² , 2/n², ..., n/n² , vérifier, pour tout entier naturel non nul n, l'inégalité :
Vn- 1/6 * 1/n² Un Vn
J'aurai donc besoin d'aide pour les questions 2 et 3 merci ..
A+++
Par récurrence pour le 2.
Il faut démontrer que n4+(n+1)3<=((n+1)4..ce qui est faisable en comparant les terme de même puissance
la somme des cubes de 1 à n est égal à (n+1)2.. mais c'est tres long a démontrer je crois .
Il faut connaître la somme des carré je crois.
la somme des cubes vaut, sauf erreur, le carré de la somme des entiers, soit n².(n+1)²/4
A vérifier
.
j'ai un vague souvenir de la 1ere pour ce qui concerne les récurences .. mais pourriez vous m'expliquer de façon plus explicite svp votre raisonnement ?
Mercii
pour Nofutur2 à 18:08, il est aisé de voir que, pour n=1, 1^3 ne donne pas (n+1)^3=(1+1)^3=2^3=8
par contre ( n(n+1)/2 )² = ( 1.(1+1)/2 )² = (1)² = 1
On démontre que 1^3+2^3+...+n^3 = n²(n+1)²/4 qui n'est autre que le carré de la somme des entiers
A vérifier
.
anyone à 17h29.
je n'ai pas encore vu les raisonnements par récurence
Puis a 18h11 (moins d'une heure après).
j'ai un vague souvenir de la 1ere pour ce qui concerne les récurences .. mais pourriez vous m'expliquer de façon plus explicite svp votre raisonnement ?
Comme quoi, en moins d'une heure, on a le temps d'apprendre.. puis d'oublier.
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