Inscription / Connexion Nouveau Sujet
suites et intervalles
On admet l'existance d'une suite u définie sur N par la donnée du réel u[/sub]0 de ]-1,1[ et la relation:
u[sub]n+1 = 
((1-u[/sub]n)/2) pour tout naturel n
1.Déterminer u[sub]0 de sorte que la suite u soit constante.
(on calculera u[/sub]0 tel que u[sub]0 = u[/sub]1 , puis on fera une démonstration par reccurence).
Dans la suite de l'énoncé, on posera: u[sub]0 = sin
[/sub]0 avec [sub]O élément de [-
/2 , /2]
2. a)Justifier ce choix.Que devient la suite u si [/sub]0 est egal à /6?
b)soit un élément de [-
/2 , /2].
Montrer que : sin = 1 - 2sin°2(/4 - /2)
( on rappel que : cos2x = 1-2sin°2x pour tout réel x),
puis prouver l'égalité: ((1-sin)/2) = sin(/4 - /2)
c)A l'aide d'un raisonnement par reccurence, établir qu'il existe une suite ([sub]n) d'éléments de [-/2 , /2] telle que u[/sub]n = sin[sub]n pour tout entier naturel n.
quelle relation ya-t-il entre [/sub]n+1 et [sub]n ?
1)
U(1) = U(0) ->
U(0) = V((1-U(0))/2)
Cela implique U(0) > 0 (1)
(U(0))² = (1-U(0))/2
2(U(0))² + U(0) - 1 = 0
U(0) = -1 (interdit par (1))
et U(0) = 0,5.
Supposons U(n) = 0,5, alors U(n+1) = V((1-u(n))/2) = V((1-0,5)/2) = V(1/4) = 1/2 (V pour racine carrée).
Donc si U(n) = 0,5, on a aussi U(n+1) = 0,5
Comme U(0) = 0,5, on a alors U(1) = 0
Comme U(1) = 0,5, on a alors U(2) = 0
Et ainsi de proche, on a U(n) = 0,5 pour tout n d e N, la suite esu constante.
-----
2)
a)
(Je mets x pour alpha).
Si x0 = Pi/6
U(0) = sin(X0) = sin(Pi/6) = 0,5
Dans ce cas, la suite est constante.
---
b)
cos(2A) = 1 - 2sin²(A)
sin(Pi/2 - 2A) = 1 - 2sin²(A)
Posons A = Pi/4 - x/2 ->
sin(Pi/2 - Pi/2 + x) = 1 - 2sin²(Pi/4 - x/2)
sin(x) = 1 - 2sin²(Pi/4 - x/2)
1 - sin(x) = 2sin²(Pi/4 - x/2)
(1-sin(x))/2 = sin²(Pi/4 - x/2)
+/- V[(1-sin(x))/2] = sin(Pi/4 - x/2)
Mais avec x dans [-Pi/2 ; Pi/2], sin(Pi/4 - x/2) est >= 0 et donc:
V[(1-sin(x))/2] = sin(Pi/4 - x/2)
---
c)
Si U(n) = sin(x(n))
U(n+1) = V((1-sin(x(n))/2)
U(n+1) = sin(Pi/4 - (x(n)/2))
Or U(n+1) = sin(x(n+1))
->
sin(x(n+1)) = sin(Pi/4 - (x(n)/2))
a)
x(n+1) = Pi/4 - (x(n)/2)
b)
x(n+1) = Pi - (Pi/4 - (x(n)/2))
x(n+1) = 3Pi/4 + (x(n)/2) solution à rejeter pour anoir tout les xn dans [-Pi/2 ; pi/2]
->
La relation cherchée est unique et est: x(n+1) = Pi/4 - (x(n)/2)
Ce point n'a pas été fait par récurrence.
-----
Sauf distraction, à vérifier. 
Annuler
connectez vous