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suites et limites
Bonjour
a et b sont 2 nombres réels tels que 0<a<b
(Un ) et (Vn) 2 suites numériques définies par : U0=a et U(n+1)=2Un Vn/(Un+Vn)
et V0=b et V(n+1)=(Un+Vn)/2
1. vérifier que ces suites sont strictement positives
2. on pose Wn= Vn-Un
montrer que 0=<W(n+1)=<1/2Wn
montrer que 0=<Wn=<(b-a)/2puisn
3. montrer que (Un) est croissante et (Vn) est décroissante
4. que peut on dire sur ces suites ?
5. montrer que (UnVn)est constante
déterminer les limites de ces suites
6. on prend a=3 et b=5 déterminer un encadrement de rac15
voici ce que j’ai trouvé
1. pour le 1 je ne sais pas
2. j’ai fais W(n+1)=V(n+1)-U(n+1)
cela donne W(n+1)=-(Wn)²/2(Un+Vn)
je n arrive pas à conclure
3. je sais qu’il faut le faire par récurrence mais après l’hérédité
j’ai l hypothèse :0<Wp<(b-a)/2puisp
je n arrive pas à finir cette récurrence
4. je pense qu’il faut faire U(n+1)-Un mais pour moi ca n aboutit
pas je trouve UnVn/(Un+Vn)
5. j ‘ai réussi à faire le 5
6. je trouve 0.14
merci pour votre aide
1)
Supposons U(n) et V(n) > 0 pour une certaine valeur k de n, on a alors:
U(k) > 0 et V(k) > 0
U(k+1) = 2U(k) . V(k)/(U(k)+V(k))
Le dénominateur et le numérateur sont > 0 -> u(k+1) > 0.
V(k+1)=(U(k)+V(k))/2 > 0
Donc si U(k) > 0 et V(k) > 0, on a aussi U(k+1) > 0 et V(k+1) > 0
Comme U(0) > 0 et V(0) > 0, on a aussi U(1) > 0 et V(1) > 0
Comme U(1) > 1 et V(1) > 0, on a aussi U(2) > 0 et V(2) > 0
Comme U(2) > 2 et V(2) > 0, on a aussi U(3) > 0 et V(3) > 0
Et ainsi de proche en proche, U(n) > 0 et V(n) > 0 pour tout n de N.
Donc les suites Un et Vn sont strictement positives.
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2)
Wn= Vn-Un
W(n+1) = V(n+1)-U(n+1)
W(n+1) = (Un+Vn)/2 - 2Un.Vn/(Un+Vn)
W(n+1) = [(Un+vn)²-4Un.Vn]/2(Un+Vn)
W(n+1) = [(Un)²+(Vn)²-2Un.Vn]/2(Un+Vn)
W(n+1) = [(Un-Vn)²]/[2(Un+Vn)]
Le numérateur est un carré donc >= 0 et le dénominateur > 0 (suite à
la partie (1) de l'exercice))
-> W(n+1) >= 0 (1)
Comme W(0) = b - a > 0 , on a W(n) >= 0 pour tout n de N (2)
W(n+1) - (1/2)W(n) = [(Un-Vn)²]/[2(Un+Vn)] - (1/2)(Vn-Un)
W(n+1) - (1/2)W(n) = [(Un-Vn)²-(Vn-Un)(Un+Vn)]/[2(Un+Vn)]
W(n+1) - (1/2)W(n) = [(Un-Vn)²-((Vn)²-(Un)²)]/[2(Un+Vn)]
W(n+1) - (1/2)W(n) = [(Un)²+(Vn)²-2.Un.Vn-(Vn)²+(Un)²]/[2(Un+Vn)]
W(n+1) - (1/2)W(n) = [2(Un)²- 2Un.Vn]/[2(Un+Vn)]
W(n+1) - (1/2)W(n) = [Un(Un-Vn)]/[(Un+Vn)]
W(n+1) - (1/2)W(n) = -Un.Wn/[(Un+Vn)]
Et comme Un et Un > 0 et w(n) >= 0 (par (2) , on a:
W(n+1) - (1/2)W(n) <= 0
W(n+1) <= (1/2)W(n) (3)
(1) et (3) ->
0 <= W(n+1) <= (1/2)W(n)
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0 <= W(n+1) <= (1/2)W(n)
Donc W(n) a ses termes <= à ceux d'une progression géométrique de
raison 1/2 et de premier terme = Vo - Uo = b - a
-> Wn <= (b-a).(1/2)^n (4)
(2) et (4) ->
0 <= W(n) <= (b-a).(1/2)^n
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3)
U(n+1) - U(n) = (2Un Vn/(Un+Vn)) - U(n)
U(n+1) - U(n) = (2Un Vn - (Un)²-Un.Vn)/(Un+Vn)
U(n+1) - U(n) = (Un Vn - (Un)²)/(Un+Vn)
U(n+1) - U(n) = Un(Vn-Un)/(Un+Vn)
U(n+1) - U(n) = Un.Wn/(Un+Vn)
Comme Un, Vn et Wn sont >= 0 pour tout n de N->
U(n+1) - U(n) >= 0
U(n+1) >= U(n)
Et donc la suite Un est croissante.
V(n+1) - V(n) = ((Un+Vn)/2) - Vn
V(n+1) - V(n) = (Un+Vn-2Vn)/2
V(n+1) - V(n) = (Un-Vn)/2
V(n+1) - V(n) = -W(n) /2
Et comme W(n) >= 0 pour tout n de N ->
V(n+1) - V(n) <= 0
V(n+1) <= V(n)
Et donc la suite Vn est décroissante.
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4)
0 <= W(n) <= (b-a).(1/2)^n
0 <= lim(n->oo) W(n) <= lim(n->oo) [(b-a).(1/2)^n]
0 <= lim(n->oo) W(n) <= 0
lim(n->oo) W(n) = 0
lim(n->oo) (V(n) - U(n)) = 0
lim(n->oo) V(n) = lim(n->oo) (U(n)
Et avec Un est croissante et Vn est décroissante
On conclut que les suites Vn et Un convergent vers une même limite.
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5)
U(n+1) . V(n+1) = U(n).V(n)
Et donc U(n)*V(n) = constante pour tout n de N, cette constante = U(0)*V(0)
= ab.
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6)
U(0) = 3
V(0) = 5
3 <= Racine carrée(15) <= 5
U(1) = 2*3*5/(3+5) = 30/8 = 15/4
V(1) = (3+5)/2 = 4
15/4 <= Racine carrée(15) <= 4
U(2) = ...
Et on continuant, on détermine un encadrement de racine carrée de 15
de plus en plus serré.
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Sauf distraction. Vérifie le tout.
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