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suites et majorant

Posté par camomille62 (invité) 09-10-06 à 18:33

bonjour je rencontre quelques difficultés à trouver les solutions d'un DM même si j'ai beau me creuser la tête!!
je vous donne l'énoncé:
on considère la suite (un) définie par u0= -1 pour tout n.
1/calculer les premiers termes de la suite (je trouve -1;1;5/3 et 19/11)
2/démontrer que pour tout n supérieur ou égal à 2, on a un3/2(là je suis complètement bloqué après avoir dressé le tableau de variations de f(x)=3+2x/2+x d'après une note de mon prof)
3/démontrer que la suite est majorée par 3
4/déterminer le sens de variation de la suite (un)

merci beaucoup pour votre aide en espérant une réponse
camomille

Posté par
raymond Correcteursuites et majorant 09-10-06 à 18:46

Bonjour.
Peux-tu nous donner la définition de ta suite ?
A plus RR.

Posté par camomille62 (invité)re : suites et majorant 09-10-06 à 19:22

pardon un+1=(3+2un)/(2+un)

Posté par
raymond Correcteursuites et majorant 09-10-06 à 19:48

2°) Ton tableau de variation t'indique que f est croissante et que :

2$\textrm 0 \le x < +\infty \Longrightarrow 3/2 \le f(x) < 2

Comme un est positif pour n > 0, f(un) = un+1 supérieur à 3/2.
3°) Procède par récurrence : u2 < 3.
Tu supposes n < 3.
Tu cherchers le signe de :
3$\textrm\ A = sqrt{3} - u_{n+1} = \sqrt{3} - \frac{2u_n + 3}{u_n + 2} .
Pour cela tu multiplies cette expression par :
3$\textrm B = \sqrt{3} + \frac{2u_n + 3}{u_n + 2} .
Cela ne changera pas le signe, B étant positive. Le résultat est
3$\textrm B\times(\sqrt{3} - u_{n+1}) = \frac{3 - u_n^2}{(u_n + 2)^2} .
Tu en déduis que, pour tout n, un est majoré par 3.
A plus RR.


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