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Suites et PGCD
Bonjour,
je suis bloqué sur un exercice et j'aimerais avoir un éclaircissement,
l'énoncé:
Soit la suite (un) définie sur N par :
U0=0,U1=1 et Un+2=3un+1-2un
1. On pose vn=un+1-un
Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.
2.a) En déduire que pour tout entier n, un est un entier naturel et que un+1=2un+1.
b) En déduire que deux termes consécutifs de la suite (un) sont premiers entre eux.
j'ai trouvé pour la 1) que vn+1=2vn et v0=1
et pour la 2)a) je suis bloquer et je ne sais pas ou commencer,
j'ai voulu faire une récurrence pour montrer que un est un entier naturel mais je n'y arrive pas.
Merci
Bonjour,
2)a) est donc une suite géométrique : tu peux commencer par écrire son terme général en fonction de
Bonjour,
j'ai voulu faire une récurrence pour montrer que un est un entier naturel mais je n'y arrive pas.
Oui bonne idée. La récurrence est presque immédiate.
c'est vrai pour n=0 et n=1, on suppose vrai pour n (donc Un est un entier) et on doit montrer que c'est vrai pour n+1 donc que Un+1 est aussi un entier
utilise Un+1 = Un + Vn
Je comprend, mais dans mon hypothèse de recurrence: est ce que je peut mettre que P(n): "Un est un entier naturel".
Merci
Bonjour,
@MaZr4, juste en passant :
2)a)
Oui et pour la suite de la question 2)a), il peut être utile d'exprimer en fonction de
:
On fait la somme membre à membre.
il peut être utile d'exprimer u_n en fonction de n
bonjour, j'ai trouvé que un=2n-1 et cela me permet aussi de prouver que un+1=2un+1
Merci, et pourrais-je avoir des pistes pour me lancer sur le b) (information : je ne connais pas le théorème de Bézout)
Que peut-on dire d'un diviseur commun à u_{n+1} et u_n ?
j'en déduis que par combinaison linéaire d (le diviseur commun) divise un+1 - 2un=1
donc que d=1 donc que les deux termes consécutifs de la suite (un) sont premiers entre eux
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