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Suites et PGCD

Posté par
MaZr4
06-01-24 à 14:09

Bonjour,
je suis bloqué sur un exercice et j'aimerais avoir un éclaircissement,
l'énoncé:
Soit la suite (un) définie sur N par :
U0=0,U1=1 et Un+2=3un+1-2un
1. On pose vn=un+1-un
Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.
2.a) En déduire que pour tout entier n, un est un entier naturel et que un+1=2un+1.
b) En déduire que deux termes consécutifs de la suite (un) sont premiers entre eux.

j'ai trouvé pour la 1) que vn+1=2vn et v0=1
et pour la 2)a) je suis bloquer et je ne sais pas ou commencer,
j'ai voulu faire une récurrence pour montrer que un est un entier naturel mais je n'y arrive pas.
Merci

Posté par
lake
re : Suites et PGCD 06-01-24 à 14:14

Bonjour,

2)a) (v_n) est donc une suite géométrique : tu peux commencer par écrire son terme général en fonction de n

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suites et PGCD 06-01-24 à 14:14

Bonjour,

Citation :
j'ai voulu faire une récurrence pour montrer que un est un entier naturel mais je n'y arrive pas.


Oui bonne idée. La récurrence est presque immédiate.
c'est vrai pour n=0 et n=1, on suppose vrai pour n (donc Un est un entier) et on doit montrer que c'est vrai pour n+1 donc que Un+1 est aussi un entier
utilise Un+1 = Un + Vn

Posté par
MaZr4
re : Suites et PGCD 06-01-24 à 14:30

Je comprend, mais dans mon hypothèse de recurrence: est ce que je peut mettre que P(n): "Un est un entier naturel".
Merci

Posté par
Glapion Moderateur
re : Suites et PGCD 06-01-24 à 14:32

oui

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites et PGCD 06-01-24 à 14:46

Bonjour,
@MaZr4, juste en passant :

lake @ 06-01-2024 à 14:14

2)a) (v_n) est donc une suite géométrique : tu peux commencer par écrire son terme général en fonction de n
Que trouves-tu pour l'expression de vn ?

Posté par
MaZr4
re : Suites et PGCD 06-01-24 à 14:55

bonjour, je trouve que:
vn=2n.

Posté par
lake
re : Suites et PGCD 06-01-24 à 14:59

Oui et pour la suite de la question 2)a), il peut être utile d'exprimer u_n en fonction de n :

u_{n}-u_{n-1}=2^{n-1}
u_{n-1}-u_{n-2}=2^{n-2}
\vdots \qquad\qquad\vdots
u_2-u_1=2^1
u_1-u_0=2^0

On fait la somme membre à membre.

Posté par
MaZr4
re : Suites et PGCD 06-01-24 à 15:03

Citation :
il peut être utile d'exprimer u_n en fonction de n

bonjour, j'ai trouvé que un=2n-1 et cela me permet aussi de prouver que un+1=2un+1

Posté par
lake
re : Suites et PGCD 06-01-24 à 15:06

Très bien
Et du coup que u_n est un entier naturel.

Posté par
MaZr4
re : Suites et PGCD 06-01-24 à 15:10

Merci, et pourrais-je avoir des pistes pour me lancer sur le b) (information : je ne connais pas le théorème de Bézout)

Posté par
lake
re : Suites et PGCD 06-01-24 à 15:12

On a donc u_{n+1}-2u_n=1
Que peut-on dire d'un diviseur commun à u_{n+1} et u_n ?

Posté par
MaZr4
re : Suites et PGCD 06-01-24 à 15:19

Citation :
Que peut-on dire d'un diviseur commun à u_{n+1} et u_n ?

j'en déduis que par combinaison linéaire d (le diviseur commun) divise un+1 - 2un=1
donc que d=1 donc que les deux termes consécutifs de la suite (un) sont premiers entre eux

Posté par
lake
re : Suites et PGCD 06-01-24 à 15:21

Oui (j'aurais du parler d'un diviseur commun positif)



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