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Suites et reccurence

Posté par
clemence1
07-10-21 à 21:59

Bonsoir à tous,
j'ai cet exercice à faire, je vais recopier l'ennoncé cepedant, je suis perdue.

Une suite (Un) définie sur est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 losqu'il existe deux réels a et b avec b non nul tel que, pour tout entier n, Un+2 = aUn+1 + bUn.
Pour une telle suite, on appelle (E) : r^2 = ar+b l'équation caractéristique associée.
Dans la suite, (Un) désignera une suite récurrente linéaire d'ordre 2 de premiers termes U0 et U1.

On suppose dans cette partie que l'équation (E) admet 2 solutions réelles distinctes r1 et r2.
On va montrer que, pour une telle suite, il existe 2 uniques nombres réels et tels que, pour tout n ,
Un = R1^n + r2^n.

1) On suppose que, pour tout n , Un= r1^n + r2^n. Calculer et en fonction de U0, U1, r1 et r2.

Merci d'avance
Clemence

Posté par
carpediem
re : Suites et reccurence 07-10-21 à 22:03

salut

il te suffit d'écrire ce que tu obtiens en prenant n = 0 et n = 1 dans l'expression de u_n ... et de résoudre le système ...

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 07-10-21 à 22:15

Pour n = 0 et n=1,  on obtient :
  U0 =r1^0 + r2^0

Posté par
bernardo314
re : Suites et reccurence 07-10-21 à 23:50

Bonsoir,

tu as seulement écris la  relation  pour  n=0 , pas celle où  n = 1.

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 07-10-21 à 23:53

Oui, donc pour
n = 1, on a r1 + r2

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 07-10-21 à 23:57

Après, je ne comprends pas comment je fais pour résoudre le système, je ne sais pas quoi isoler

Posté par
malou Webmaster
re : Suites et reccurence 08-10-21 à 08:04

Bonjour
petit dépannage en passant
clemence1, sur ton message de 22:15
que vaut r1^0 ? et r2^0 ?
remplace
tu obtiens donc u0=

ensuite sur 23:53
tu as oublié de dire que c'était égal à u1
donc tu obtiens u1 =

n'oublie pas qu'on te dit que u0 et u1 sont connus

tu as alors un système de deux équations à deux inconnues qui sont et tout simplement que tu vas déterminer en fonction de U0, U1, r1 et r2.

à toi

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 09-10-21 à 13:19

Bonjour, je sais que n'importe quel nombre à la puissance 0 fait toujours 1

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 09-10-21 à 16:30

Mais, après je suis bloquée ?

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 10-10-21 à 00:12

*!

Posté par
carpediem
re : Suites et reccurence 10-10-21 à 08:55

je note u et v les deux premières valeurs de la suite ...
je note r et s les deux racines distinctes de l'équation caractéristiques
je note p et q les deux coefficients à déterminer

donc \forall n \in \N  :  u_n = pr^n + qs^n

donc u_0 = u = pr^0 + qs^0 = p + q
 \\ u_1 = v = pr^1 + qs^1 = pr + qs

tu es donc amenée à résoudre le système \left\lbrace\begin{matrix} p + q = u\\ pr + qs = v \end{matrix}\right. d'inconnues p et q

par exemple dans la première tu écris q = u - p et tu remplaces dans la deuxième pour obtenir une équation d'inconnue p : tu exprimes donc p en fonction r, s, u et v

...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites et reccurence 10-10-21 à 09:00

Bonjour,
As-tu complété les égalités de malou ?
u0 = ...
u1 = ...
Donne tes réponses, en écrivant les égalités en entier (pas comme dans ton message de 23h53).

Les lettres et sont pénibles à écrire. Tu peux les remplacer par x et y si ça t'arrange.
Mais il ne faudra pas oublier de recopier avec et quand tu mettras au propre sur une feuille.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites et reccurence 10-10-21 à 09:01

Bonjour carpediem
Tu es gentil !

Posté par
carpediem
re : Suites et reccurence 10-10-21 à 09:04

oui ... avec tout ce qu'a dit malou je pense qu'elle est bloquée à cause de toutes ces lettres et la résolution d'un tel système ...

alors vu le temps passé j'ai donné un sérieux coup de pouce !!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites et reccurence 10-10-21 à 10:11

Oui, j'ai pensé aussi que ces lettres étaient un frein.
D'où les x et y dans mon message.

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 10-10-21 à 11:27

Donc,
U0 = +
U1=r1 + r2

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 10-10-21 à 11:28

Je vais résoudre le système

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites et reccurence 10-10-21 à 11:30

Oui, n'oublie pas que l'on cherche et .

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 10-10-21 à 11:33

Oui, oui

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 10-10-21 à 11:44

A la fin de mon système je trouve :
= (U0r1 - U1) / r1-r2
= (U1 - U0r2) / r1 - r2

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites et reccurence 10-10-21 à 12:14

C'est tout bon
N'oublie de dire au bon moment que r1-r2 est non nul, et pourquoi.

Posté par
carpediem
re : Suites et reccurence 10-10-21 à 12:25

aux parenthèses près !!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites et reccurence 10-10-21 à 13:50

C'est vrai

Posté par
clemence1
re : Suites et reccurence 10-10-21 à 21:50

Merci à tous
Bonne soirée

Posté par
carpediem
re : Suites et reccurence 11-10-21 à 16:57

de rien

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites et reccurence 11-10-21 à 17:00

De rien, et à une autre fois sur l'île \;



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