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Suites et récurrence
Bonjour a tous!! Ben voilà j'ai un petit prolème de maths ki me pose souci. C'est comme le titre l'indique sur les suites et récurrences. Voilà l'énoncé:
On définit la suite (Un) sur IN par: U(n)=a avec a appartenant à [-1;+infinie[ et pour tout entier naturel, U(n+1)=racine carré(1+U(n)).
A l'aide d'un raisonnement par récurrence, étudier la monotonie de la suite (Un). Indication: on discutera selon a appartenant à [-1;+infinie[ pour comparer U(0) et U(1).
Voilà mon problème si quelqun pourrait m'aider se serait super je le remercie d'avance.
Bonjour,
Si on pose f(x)=, alors on a : un+1=f(un).
Le sens de variation de la suite peut donc s'étudier en observant le signe de un+1-un, c'est à dire le signe de f(un)-un.
Posons alors g(x)=f(x)-x=, pour x
-1.
On en déduit : .
On en déduit l'équivalence .
Donc un+1-un0 si et seulement si un
-¾.
Or, d'après la définition de la suite u, tous les termes sont positifs.
Donc, pour tout entier n : un+1-un<0 donc un+1<un : la suite u est décroissante.
Ce n'est pas un raisonnement par récurrence mais je pense que la réponse est bonne quand même.
Ah ok javais pas pensé à passer par les fonctions, ben merci beacoup pour l'aide
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