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Suites et récurrence

Posté par saperlicoquette (invité) 12-09-04 à 18:33

bonjour!!
un petit exos ou je sèche un tantinet!!
on pose Sn=n! et Tn = 2[/sup]n-1
démontrer que pour tout entier naturel n non nul, n!>ou egal 2[sup]
n-1
pour l'instant je trouve que l'égalité est vraie au rang 1
mais c'est pour le passage du rang n au rang n+1
j'ai fait cela:
Sn+1=1*2*...*n*(n+1)
Tn+1=2[/sup]n
Sn+1=Sn*(n+1)
    =2[sup]
(n-1)*(n+1)

voila merci d'avance!!

Posté par saperlicoquette (invité)Suites et récurrence 12-09-04 à 18:44

bonjour!!
un petit exos ou je sèche un tantinet!!
on pose Sn=n! et Tn = 2n-1
démontrer que pour tout entier naturel n non nul, n!>ou egal 2n-1
pour l'instant je trouve que l'égalité est vraie au rang 1
mais c'est pour le passage du rang n au rang n+1
j'ai fait cela:
Sn+1=1*2*...*n*(n+1)
Tn+1=2n
Sn+1=Sn*(n+1)
    =2n-1*(n+1)

voila merci d'avance!!

*** message déplacé ***

Posté par
Tom_Pascal Webmaster
re : Suites et récurrence 12-09-04 à 18:46

PAS DE MULTI-POST !!!!

Posté par
dad97 Correcteur
re : Suites et récurrence 12-09-04 à 18:49

Bonjour,

euh excuse moi mais est-tu sûr d'avoir besoin du raisonnement par récurrence pour démontrer ta propriété.

En effet fixons n un entier supérieur ou égal à 4

n!=2.3.4.....n=2n([k=3;k=n-1]k)

or ([k=3;k=n-1]k) est un entier supérieur ou égal 3 donc n!>2n(2n-1)

donc pour n4 SnTn

ce raisonnement étant valable pour tout entier supérieur ou égal à 4 on en déduit que :
pour tout entier n supérieur ou égal à 4 SnTn

Reste à vérifier à la main que cela marche pour n=1;2 et 3 pour montrer que cette propriété est vrai pour tout n.

Si tu ne veux pas suivre cette voie, Tn+1=2(n+1)-1=2n+1

Salut

Posté par
dad97 Correcteur
re : Suites et récurrence 12-09-04 à 18:51

bon ben on oublie mon poste puisque Tn a changé de forme

Salut

Posté par saperlicoquette (invité)re : Suites et récurrence 12-09-04 à 18:51

spristi! oui je suis désolée je n'avais pas vu que je n'étais pas sur de l'avoir déjà en voyer!!
mille excuses!!!!!

Posté par
dad97 Correcteur
re : Suites et récurrence 12-09-04 à 18:55

Rebonjour,

Avec la nouvelle forme de Tn tu n'a toujours pas besoin de la récurrence en effet :

Fixons n entier naturel

n!=n.(n-1)....4.3.2
or les (n-1)termes du produit composant n!sont minorés par 2 donc n! est minoré par les (n-1) produits de facteurs 2 c'est à dire 2n-1.

Ce raisonnement étant valable pour tout n fixé dans N il est vrai quelque soit n dans N.

Salut



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