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Suites et récurrence

Posté par
Alieuhh
03-01-21 à 12:52

Bonjour, je suis perdu avec les suites en ce moment surtout avec la récurrence, je vois pas du tout comment raisonner, si quelqu'un veut bien m'aider 👍
Énoncé : on considère les suites (un) et (vn) définies par U0=0 et V0=2 et pour tout n € N:   Un+1=(3Un+1)/4 et Vn+1= (3Vn+1)/4

Questions: 1) on considère la suite (sn) définie sur N par Sn=Un+Vn. Montrer par récurrence que pour tout n€N: Sn=2
2) On considère la suite (tn) définie sur N par ton=vn-un
2a) montrer que (Tn) est géométrique (on précisera la raison et le premier terme)
Voila merci a vous

Posté par
fenamat84
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 12:56

Bonjour,

1) Sais-tu comment faire une démonstration par récurrence ?
Initialisation puis hérédité...
Il faut te lancer.

Posté par
Alieuhh
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 13:04

Pour l'initialisation, on doit utiliser le U0=0 et V0 = 2qu'on nous donne ?

Posté par
lyceen
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 13:22

Oui, comme u_0+s_0=2, cette égalité vérifie l'initialisation de ta récurrence.

Maintenant tu admets que u_n + v_n = 2 pour tout n entier naturel.  

Le tout est de montrer que u_{n+1} + v_{n+1} = 2.

Posté par
lyceen
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 13:23

Correction : s_0=u=0+v_0=2 et non u_0+s_0=2.

Posté par
lyceen
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 13:36

On va y arriver !

s_0 = u_0 + v_0=2 et non pas u_0 + s_0 = 2

Posté par
malou Webmaster
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 13:40

Bonjour à tous,
je ne fais que passer pour signaler cette fiche qui devrait bien aider Alieuhh
Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés

Posté par
lyceen
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 13:46

Bonjour Malou et merci pour ce conseil.

Je cherche bien évidemment à pousser Alieuhh à voir que cet exercice se résout assez simplement.

malou edit > bonjour lyceen

Posté par
Alieuhh
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 13:55

D'accord, pour le début de l'hérédité, après avoir fixé k, je peux donc écrire P(k+1) : Uk+1 + Vk+1=2 ?

Mercii Malou, je vais aussi m'aider du lien pour mieux comprendre 😁

Posté par
Alieuhh
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 14:05

Je sais pas vraiment comment rédiger sa, mais j'ai écrit que
Pk+1 : Sk+1 =( 3Un+1)/4 + (3Vn+1)/4
soit Sk+1= (3 x Uo+1)/4 + (3Vo+1)/4
= (3x0+1)/4 + (3x2+1)/4
= 1/4 + 7/4
=8/4
=2  
C'est dans cette idée la ?

Posté par
lyceen
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 14:23

L'idée est bonne mais ce n'est pas ça. Là tu as calculé s_1.

Pars de cette expression :  s_{n+1}=u_{n+1} + v_{n+1}

Tu exprimes u_{n+1} en fonction de u_n et v_{n+1} en fonction de v_n

Posté par
Alieuhh
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 14:29

Hum...
Sn+1= (3Un+1)/4 + (3Vn+1)/4 ?

Posté par
lyceen
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 14:31

Très bien, continue à développer cette expression.

Je te rappelle que tu as posé que u_n+v_n=2

Posté par
Alieuhh
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 14:36

Est-ce que il faut que je réunisse tout vu qu'il y a le même dénominateur ?
Sn+1 =( (3Un+1)+ (3Vn+1))/4
Et je ne vois pas comment utiliser Un +Vn= 2

Posté par
lyceen
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 14:37

On approche, on approche... Essaie de faire apparaître dans ton numérateur l'expression u_n+v_n

Posté par
Alieuhh
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 14:40

J'ai essayé de factoriser par 3 le numérateur, ce qui donnerait : 3(Un +Vn + 2)

Posté par
lyceen
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 14:41

On y est presque, il y a cependant un grosse bavure

Posté par
lyceen
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 14:42

3u_n + 1 + 3v_n + 1 = ... + ...

Posté par
Alieuhh
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 14:42

Ah mince ,
3(Un+Vn) +2 plutôt ?

Posté par
lyceen
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 14:45

Bien ! Donc combien vaut ta fraction ?

Posté par
Alieuhh
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 14:46

Elle vaudrait
(3(Un+Vn)+2)/ 4

Posté par
lyceen
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 14:47

La forme est bonne. Utilise ton hypothèse de départ et tu conclus.

Posté par
Alieuhh
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 14:52

Je n'arrive pas à lier Sn=Un+Vn avec la fraction que j'ai trouvée

Posté par
lyceen
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 14:54

Tu as calculé s_{n+1} :

s_{n+1} = \dfrac{3(u_n + v_n) +2}{4}

Quand tu as écrit les hypothèses de ta récurrence, qu'as-tu admis à P_k ?

Posté par
Alieuhh
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 14:57

Pk : Sk +1 = Uk+1 + Vk+1 ?

Posté par
Alieuhh
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 14:59

En fait j'avais juste marqué les calculs, je n'ai pas réellement utilisé la propriété

Posté par
lyceen
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 15:02

Je te l'ai marqué plus haut... Que vaut u_n+v_n ?

Posté par
Alieuhh
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 15:05

Ah oui, désolé, Un+Vn=2

Posté par
lyceen
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 15:09

Alors, si tu utilises cette relation dans la fraction, que trouves-tu ?

Posté par
Alieuhh
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 15:11

Ahh, du coup si Un+Vn je remplace par 2, ça donnerait
(3x2+2)/4 ce qui donne 2, c'est sa ?

Posté par
Alieuhh
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 15:17

Donc, j'ai montré que pour tout n appartenant à N, Sn est toujours égal à 2 c'est sa ?

Posté par
lyceen
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 15:19

Et voilà !

Tu viens de montrer que s_{n+1}=2.

Tu es parti de l'hypothèse que s_n=2 et tu montres que s_{n+1}=2.

Ta récurrence est donc démontrée.

Posté par
Alieuhh
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 15:24

D'accord, merci pour ton aide, je pense avoir un peu plus compris la récurrence ,😁
D'ailleurs, pour la question 2) je dois montrer que Tn est une suite géométrique et Tn=Vn-Un
Du coup j'ai marqué que:
Tn+1= (3Vn+1)/4 - (3Un+1)/4
= (Vn-Un)/4
= (Vn -Un) x 1/4
La raison serait de 1/4 ?

Posté par
lyceen
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 15:30

Tout à fait !

Tu montres que t_{n+1}=\dfrac{t_n}{4}, donc la suite est géométrique de raison 1/4.

Posté par
Alieuhh
re : Suites et récurrence 03-01-21 à 15:42

D'accord, merci beaucoup d'avoir pris du temps pour m'aider 😁

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