Bonjour,

1) Sais-tu comment faire une démonstration par récurrence ?
Initialisation puis hérédité...
Il faut te lancer.

Pour l'initialisation, on doit utiliser le U0=0 et V0 = 2qu'on nous donne ?

Oui, comme , cette égalité vérifie l'initialisation de ta récurrence.

Maintenant tu admets que pour tout entier naturel.  

Le tout est de montrer que .

Correction : et non .

On va y arriver !

et non pas

Bonjour à tous,
je ne fais que passer pour signaler cette fiche qui devrait bien aider Alieuhh
Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés

Bonjour Malou et merci pour ce conseil.

Je cherche bien évidemment à pousser Alieuhh à voir que cet exercice se résout assez simplement.

malou edit > bonjour lyceen

D'accord, pour le début de l'hérédité, après avoir fixé k, je peux donc écrire P(k+1) : Uk+1 + Vk+1=2 ?

Mercii Malou, je vais aussi m'aider du lien pour mieux comprendre 😁

Je sais pas vraiment comment rédiger sa, mais j'ai écrit que
Pk+1 : Sk+1 =( 3Un+1)/4 + (3Vn+1)/4
soit Sk+1= (3 x Uo+1)/4 + (3Vo+1)/4
= (3x0+1)/4 + (3x2+1)/4
= 1/4 + 7/4
=8/4
=2  
C'est dans cette idée la ?

L'idée est bonne mais ce n'est pas ça. Là tu as calculé .

Pars de cette expression :  

Tu exprimes en fonction de et en fonction de

Hum...
Sn+1= (3Un+1)/4 + (3Vn+1)/4 ?

Très bien, continue à développer cette expression.

Je te rappelle que tu as posé que

Est-ce que il faut que je réunisse tout vu qu'il y a le même dénominateur ?
Sn+1 =( (3Un+1)+ (3Vn+1))/4
Et je ne vois pas comment utiliser Un +Vn= 2

On approche, on approche... Essaie de faire apparaître dans ton numérateur l'expression

J'ai essayé de factoriser par 3 le numérateur, ce qui donnerait : 3(Un +Vn + 2)

On y est presque, il y a cependant un grosse bavure

Ah mince ,
3(Un+Vn) +2 plutôt ?

Bien ! Donc combien vaut ta fraction ?

Elle vaudrait
(3(Un+Vn)+2)/ 4

La forme est bonne. Utilise ton hypothèse de départ et tu conclus.

Je n'arrive pas à lier Sn=Un+Vn avec la fraction que j'ai trouvée

Tu as calculé :



Quand tu as écrit les hypothèses de ta récurrence, qu'as-tu admis à ?

Pk : Sk +1 = Uk+1 + Vk+1 ?

En fait j'avais juste marqué les calculs, je n'ai pas réellement utilisé la propriété

Je te l'ai marqué plus haut... Que vaut ?

Ah oui, désolé, Un+Vn=2

Alors, si tu utilises cette relation dans la fraction, que trouves-tu ?

Ahh, du coup si Un+Vn je remplace par 2, ça donnerait
(3x2+2)/4 ce qui donne 2, c'est sa ?

Donc, j'ai montré que pour tout n appartenant à N, Sn est toujours égal à 2 c'est sa ?

Et voilà !

Tu viens de montrer que .

Tu es parti de l'hypothèse que et tu montres que .

Ta récurrence est donc démontrée.

D'accord, merci pour ton aide, je pense avoir un peu plus compris la récurrence ,😁
D'ailleurs, pour la question 2) je dois montrer que Tn est une suite géométrique et Tn=Vn-Un
Du coup j'ai marqué que:
Tn+1= (3Vn+1)/4 - (3Un+1)/4
= (Vn-Un)/4
= (Vn -Un) x 1/4
La raison serait de 1/4 ?

Tout à fait !

Tu montres que , donc la suite est géométrique de raison 1/4.

D'accord, merci beaucoup d'avoir pris du temps pour m'aider 😁