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Suites et récurrence
Voila j'ai un souci sur un exercice de récurrence, j'ai des pistes que je vais vous écrire ci dessous mais je suis bloqué ! j'aimerais avoir un petit coup de pouce ! merci d'avance ! voila l'exercice :
Soit 
un réel positif
Démontrer l'inégalité ( 1 + )
n 
1+ n pour tout entier naturel n en utilisant une démonstration par récurrence
J'ai donc calculé U1 qui est vrai
Ensuite j'ai posé l'hypothèse de récurrence et j'ai essayé de calculé U(n+1)
voici mes calculs :
( 1 + ) n+1 1 + ( n + 1 )
= (1 + ) n+1 1 + ( n * + )
= (1 + )n * ( 1 + ) 1 + n +
Voila ! ici je suis bloqué et je ne sais plus quoi faire !
hola deby95
supposons que (1+a)^n > 1+ na
(1+a)^(n+1)=(1+a)(1+a)^n > (1+a)(1+na) = 1+(n+1)a + na² > 1+(n+1)a
D.
il faut partir de n car ton hypothese de reccurence est sur n
( 1 + a )^n > 1 + ( n + 1 ) a
multiplie a droite et a gauche par (1+a) qui est positif donc change pas le signe ^^
je ne comprends pas pourquoi il faut multiplié par 1+a alors que normalement on remplace n par n +1 non ?
disdrometre je ne comprend pas dans cette phase : (1+a)(1+na) pourquoi il y a 1+a et pas 1 tout court ?
je pars de (1+a)^n > 1+ na ( hypothèse)
or (1+a)^(n+1)=(1+a)(1+a)^n ( toujours vrai)
puisque (1+a)^n > 1+ na donc (1+a)(1+a)^n > (1+a)(1+na)
or (1+a)(1+na) = 1+(n+1)a + na² et comme na² > 0
donc (1+a)(1+na) > 1+(n+1)a
d'ou (1+a)^(n+1) > 1+(n+1)a
prend le temps de lire..
D.
peux tu m'expliquer en quoi intervient na² ? je ne comprend pas pourquoi le fait de dire qu'il est supérieur a 0 nous permet de l'enlever ...?
non c'est pas ca que je demandais mais une fois que tu as 1 + (n+1) a + na² tu dis que c'est égal a : 1 + (n+1)a . Ou est passé na² ?
(1+a)(1+na) = 1+(n+1)a + na² OK
or na² >0 donc 1+(n+1)a + na² >1 +(n+1)a
donc (1+a)(1+na) > 1 +(n+1)a
D.
aaaah ! je viens enfin de comprendre le raisonnement ! et bien merci beaucoup ! je n'avais pas vu de technique de ce genre en cours ... Merci encore !
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