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suites et récurrence
Bonjour à tous ! Voila j'ai un devoir a rendre lundi en maths et ca fait une semaine que je suis dessus ! mais je suis bloqué sur un exercice de récurrence
Voici l'énoncé :
On considère la suite (Un) définie par U0= 0 et pour tout n appartenant a N : Un+1 = (
(2) / 2 ) * (1+Un)
1) Montrer par réucurrence que pr tout entier n strictement positif, on a l'encadrement : (2)/2 
Un 1 .
2) Etudier le sens de variation de la suite ( Un) . (On pourra raisonner par récurrence)
Jusque la j'ai fait l'exercice, je suis bloqué pour les 2 questions restantes :
3) Montrer que, pour tout nombre x 
[ o ; 
] :
( (1+cos x) / 2) = cos (x/2)
4) Montrer par récurrence que :
Un= cos (/(2(n+1))) Pour 2( n+1) : n+1 est la puissance donné a 2 !
J'espère que vous allez pouvoir m'aider ! merci d'avance
oulala, mais ca fait un truc gigantesque avec la racine, je trouve ca bizarre, pourrais tu m'en dire d'avantage s'il te plait ?
bon j'ai réussi a avancer grace a l'indice en fait il faut partir de cos x aparemment ! et je suis arrivé a cos x = 2cos²(x/2) -1
a partir de la je suis a nouveau bloqué
aidez moi please !!
salut!
1=cos^2(x/2)+sin^2(x/2)
cosx=cos^2(x/2)+sin^2(x/2)
1+cosx=2cos^2(x/2)
donc: racine((1+cosx)/2) = cos(x/2) car
cos(x/2) est positif sur l'intervalle 0,pi
4- pour n=0 cos(pi)/2(0+1)=cos(pi)/2=0=U0
SOIT n un element de N
supposons que Un= cos(pi)/(2^(n+1) et montrons que
Un+1= Cos(pi)/2^(n+2)
Un+1=racine(2)/2.racine(1+Un)
= racine(2)/2.racine(1+cos(pi)/2^(n+1))
= racine(2)/2.racine2Cos^2(pi)/2^(n+2)
= racine(2)/2.racine(2)/2.racine(Cospi/2^(n+2))
= Cos pi/2^(n+2) ce qu'il falait demontrer
donc pour tout n de N on a Un=Cos(pi/2^(n+1)
salut!
la deuxième ligne de ce qui j'ai ecrit contient une erreure, un + au lieu de -
le correct est Cosx =cos^2(x/2)-Sin^2(x/2)
bon j'ai réussi a avancer grace a l'indice en fait il faut partir de cos x aparemment ! et je suis arrivé a cos x = 2cos²(x/2) -1
T'as fait le plus dur en arrivant là !
On a alors 1+cos(x)=2cos²(x/2), c'est à dire :
ah merci beaucoup ! auriez vous une idée qui me permettrait pour la derniere question de montrer que Un+1= cos (/(2(n+2))) n+1 est la puissance associé a 2 ici ! je sais que je dois arriver a ca mais je ne vois pas du tout quel calcul faire pour cela !
je n'arrive toujours pas a résoudre la question 4 ... pourriez vous m'aider a comprendre ce qu'il faut faire ?
Pour la 4 il suffit de procéder par récurrence, et utiliser la question 3 pour montrer l'hérédité ...
je ne sais pas comment faire, pourriez vous m'en dire d'avantage? comment arriver a 2puissance(n+2) ds le dénominateur o final
Soit la propriété : "
"
- est vrai
- Supposons que est vraie pour une entier n, cad supposons que
.
Montrons que est vraie cad montrons que
.
On a, par définition, .
Par hypothèse de récurrence, on sait que . On a donc
.
En utilisant la question 3), on a , on a donc
.
Finalement, on a ,cad
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