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Suites et récurrence, constante d EULER
Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour commencer cet exercice.
Merci d'avance!
On peut démontrer que la suite (Sn) définie, pour tout entier n
1, par Sn = n'est pas minorée et tend vers +
.
On considère la suite définie pour tout entier n1, par: Un = Sn - ln(n).
1°) Calculer u1, u2, u3, u4 et u5.
Pour cela pas de gros problème.
2°) On admet dans cette question que, pour tout réel x>-1, on a xln(1+x).
(On peut démontrer ce résultat en étudiant le signe de la fonction x
x-ln(1+x) sur ]-1;+[ .)
Démontrer que, pour tout entier n1, on a:
Un+1 - Un = + ln(1 -
).
En déduire le sens de variation de la suite (Un).
J'ai essayé de faire le calcul mais je ne trouve pas ce qui est demandé.
Pour achever ton exercice,pose dans l'inégalité du 2) admise par ton énoncé ( et que tu peux d'ailleurs redemontrer grâce à la concavité de ln si tu as déja etudié la concavité) : x=-1/(n+1) > -1
Tu en déduis alors facilement que ln(1-1/(n+1))
-1/(n+1) soit :
1/(n+1)+ ln(1-1/(n+1)) 0 donc : un+1 un
La suite (Un) est donc décroissante.
j'ai des questions complementaire a cet exercice, pouvez vous m'aider?
3)On pose a present pour tout n1:
Vn = Un - (1/n)
Démontrer que pour tout n1 :
Vn+1- Vn = 1/n - ln(1+(1/n))
Quel est le sens de variation de (Vn)?
4)Demontrer que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes.
5)Determiner a l'aide des suites (Un) et (Vn) un encadrement de la constante d'Euler d'amplitude 10^-1.
Merci d'avance
3) Soit n1 ( je suppose que c'est ce que tu voulais écrire 
).
On a clairement : Vn+1 - Vn=Un+1 -(1/(n+1)) -Un + 1/n soit d'après 2):
Vn+1-Vn= 1/n + ln(1-1/(n+1)) = 1/n + ln(n) - ln(n+1) = 1/n -[ln(n+1)-ln(n)] soit comme n>0, en utilisant de nouveau les propriétés de ln : Vn+1-Vn = 1/n - ln(1+(1/n))
Or, d'après l'inégalité du 2), comme (1/n)>-1, on a : (1/n)ln(1+(1/n)) soit en mettant tout dans le membre de gauche : Vn+1-Vn0 soit encore Vn+1Vn. La suite (Vn) est donc croissante.
4)Tu as démontré en 2) que (Un) était décroissante.
De plus, (Vn) est croissante.
Enfin on a : Vn-Un=-(1/n)
0 quand n+
Donc les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes
5)Pour cette question , je ne suis pas sur, donc je ne te garantis rien. Les suites (Un) et (Vn) étant adjacentes, elles convergent vers une limite commune L. Donc : VnL Un . A partir de là, comme l'énoncé te demande une amplitude 0,1 pour ton encadrement, je pense qu'il faut que tu calcules la valeur de n la plus adaptée pour ton encadrement.Sers-toi d'ailleurs des valeurs de Un que tu as calculé à la question 1) je pense.Je vais essayer de faire un petit brouillon et de voir la valeur de n à utiliser. A toute!
En fait, il faut que : valeur absolue(Un - Vn) = 
.10^(-1)
On a : valeur absolue(U1 -V1)= 1 donc ca ne correspond pas. Parcontre, pour n=2, ca change. En effet , on a : valeur absolue(U2 - V2)=1/2 = 5.10^(-1) donc, vu que L est la constante d'Euler, il s'ensuit que :
V2 LU2 soit finalement :
1-ln(2)L3/2 -ln(2)
Sauf erreurs. J'espère t'avoir aidé. Johnrawls.
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