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Suites et récurrence quelques problèmes
Bonjour à tous! j'ai un DM à faire pour lundi 13.12.04 et je suis bloqué à certaines questions donc je vais mettre les exercices qui constituent mon DM et les réponses que j'ai trouvé. Si jamais vous voyez une faute ou si vous connaissez une façon plus simple (ou plus "correct") pour résoudre un calcul ou si vous savez répondre à une question, n'hésitez pas à me le signaler : ça ne pourra que m'être utile. 
:D
Voici l'énoncé du premier exercice :
La moyenne arithmético-géométrique
a et b désignent deux réels tels que 0<a<b.
A. g=
(ab) est leur moyenne géométrique ;
m=(a+b)/2 est leur moyenne arithmétique.
Démontrer que a<g<m<b.
B.(an)n
et (bn)n sont les deux suites définies par :
a0=a et pour tout n de , an+1=(ab) ;
b0=b et pour tout n de , bn+1=(an+bn)/2.
1.a) Expliquer pourquoi pour tout n de , an
bn.
b) Déduire de la question A. que la suite (an)n est croissante et que la suite (bn)n est décroissante.
c) Déduire de la question A. que :
bn+ an-2(ab)< bn- an ;
puis que : bn+1- an+1(bn- an)/2.
d) En déduire que pour tout entier naturel n, bn- an(b- a)/2n.
Et voici mes réponses pour l'ex 1 :
A.
a<b
a2<ab
a<ba<(ab)
a<ba<g
a<bab<b2
a<b(ab)<b
a<bg<b
Donc a<g<b (1)
a<ba+a<(a+b)
a<ba<(a+b)/2
a<ba<m
a<ba+b<b+b
a<b(a+b)/2<b
a<bm<b
Donc a<m<b (2)
g-m=(ab)-(a+b)/2
g-m=2*(ab)/2-(a+b)/2
g-m=(2*(ab)-a-b)/2
g-m=-(a-(2*(ab)+b)/2
Donc g-m=-(a-b)2/2 ou g-m=-(b-a)2/2.
Dans les deux cas, un carré est toujours positif et 2 est positif
Donc les rapports -(a-b)2/2 et -(b-a)2/2 sont négatifs.
Donc g-m<0 g<m (3)
(1) ; (2) et (3) a<g<m<b.[/u]
B. 1.a) On veut montrer que anbn
Pour n=0 , (a0b0)= (ab)=g
(a0+b0)/2 = (a+b)/2 = m
Or g<m (voir la question A.)
Donc la relation est vérifiée pour n = 0
Supposons que anbn
Montrons que an+1bn+1 et pour cela, il faut prouver que an+1-bn+10
an+1-bn+1=(anbn)-(an+bn)/2
an+1-bn+1=2*(anbn)/2-(an+bn)/2
an+1-bn+1=(2*(anbn)-an-bn)/2
an+1-bn+1= -(an-(2*(anbn)+bn)/2
Donc an+1-bn+1= -(an-bn)2/2 ou an+1-bn+1= -(bn-an)2/2.
Dans les deux cas, un carré est toujours positif et 2 est positif
Donc les rapports -(an-bn)2/2 et -(bn-an)2/2 sont négatifs.
Donc an+1-bn+10 an+1 bn+1
Par récurrence, an bn pour tout entier n
0
b) an+1-an = (anbn) - an
Or, on a vu dans la question A. que pour tout réel a et b supérieur à 0, on a :
a<(ab)
Donc pour an et bn appartenant à , on a :
an<(anbn) (anbn) - an>0
Donc an+1 - an>0
Donc la suite (an)n est croissante.
bn+1-bn = (an+bn)/2 - bn
Or, on a vu dans la question A. que pour tout réel a et b supérieur à 0, on a :
(a+b)/2<b
Donc pour an et bn appartenant à , on a :
(an+bn)/2<bn (an+bn)/2 - bn<0
Donc bn+1 - bn<0
Donc la suite (bn)n est décroissante.
c) On a vu dans la question A. que pour tout réel a et b supérieur à 0 on a :
a<(ab)
Donc pour an et bn appartenant à , on a :
an<(anbn) -an < -(anbn)
an<(anbn) -2an < -2(anbn)
an<(anbn) bn-2an < -2(anbn)+bn
an<(anbn) bn-an < -2(anbn)+bn+an
Donc bn+an-2(anbn)<bn-an
bn+an-2(anbn)<bn-an (4)
(4) 1/2*(bn+an-2(anbn))<1/2*(bn-an)
(4) (bn+an)/2-(anbn)<(bn-an)/2
(4) bn+1-an+1<(bn-an)/2
d)
Je sais pas du tout.
Voici l'énoncé du premier exercice :
Encadrer (5) par des rationnels
(xn)n est lasuite définie par x0 = 1 et pour tout entier naturel n,
xn+1=1/(1+xn).
1. Démontrer par récurrence, que pour tout n de , xn est un rationnel (c'est-à-dire un nombre de la forme p/q avecp et q entiers, q
0).
2. On note b = (-1+(5))/2
a) Vérifier que b=1/(b+1) et x0>b
b) Démontrer pour tout n de : si xn>b alors xn+1<b
c) Démontrer pour tout n de : si xn<b alors xn+1>b
d) Vérifier que pour tout n de , xn+2 = (1+xn)/(2+xn)
3.a) En utilisant un raisonnement par l'absurde, démontrer que :
si xn>b alors xn+2<xn;
si xn<b alors xn<xn+2;.
Info : Pour démontrer par l'absurde une propriété de la forme "si P alors Q" on démontre que si Q est faux alors P l'est aussi.
b) En déduire que :
x1<x3<x5<...<b<...<x4<x2<x0.
Pour cet exercice j'ai rien compris et j'obtient des résultats plus que bizarre alors si quelqu'un pouvait m'aider ça serait gentil 
D'avance merci !
Bonjour
EXERCICE 1
A
pour raccourcir : tu peux dire tout simplement que
sans évoquer l'autre égalité....
B
1.a. Pourquoi refais tu la même démonstration qu'au A pour démontrer que an+1bn+1 sachant que an+1 est la moyenne géométrique des deux nombres et bn+1 leur moyenne arithmétique?
1.b.Pense, en utilisant le A à rappeler que an bn
1.c. Raisonnement faux : tu as multiplié une inégalité par -1 sans changer son sens
tu peux en revanche calculer la différence
bn - an - (an + bn - 2anbn)
mettre 2an en facteur et utiliser le fait que an bn
1.d. Utilise un raisonnement par récurrence
EXERCICE 2
1. raisonnement par récurrence. Tu supposes qu'il existe p et q tels que an = p/q, tu calcules an+1 en fonction de p et q et tu montres que ce nombre est le quotient de deux entiers
2. a. un simple calcul
2.b.
si xn > b alors
1 + xn > 1 + b
1/(1 + xn) ... 1/(1 + b)
Or 1/(1 + b) = b donc ....
2.c. même raisonnement
2.d. Il suffit d'écrire xn+2 en fonction de xn+1, de remplacer xn+1 par sa valeur en fonction de xn et de réduire la fraction composée.
3.a. je ne vois pas comment faire en raisonnant par l'absurde....
Moi, je calculerais xn+2 - xn en fonction de xn, j'étudierais le signe de cette expression en fonction de xn (signe du trinome et signe d'un quotient...) et j'en déduirais les implications souhaitées
3.b Ce n'est qu'un synthèse de tous les résultats démontrés
x0 > b donc x1 < b puis x2 > b etc.
x0 > b donc x2< x0
x2 > b donc x4< x2
etc.
x1 < b donc x3> x1
x3 < b donc x5>x3
etc.
Bon courage
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