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Suites et résonnement par récurrence
Bonjour, pour demain, je doit rendre un dm sur les suites et je bloque sur cet exercice :
Soit (un) la suite définie sur N par : u0 =0 et un+1 =3√un + 4.
Calculer u1, u2 et u3.
On a donné, en annexe, la courbe de la fonction f qui vérifie un+1 = f(un). (f définie sur [0;+∞[)
(a) Donner sans justification, l'expression de f(x) pour x ≥ 0.
(b) Construire, en laissant visibles les traits de construction, les quatre premiers termes de la suite (un) sur
l'axe des abscisses.
(c) Quelles conjectures peut-on émettre sur le sens de variation de la suite (un) et sur les valeurs prises par les termes de la suite ?
(a) Démontrer par récurrence que ∀n ∈ N, 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 16.
(b) Dans quelle mesure la démonstration précédente valide les conjectures de la question 2.c ?
(c) On change la valeur de u0, désormais on prend u0 = 25. Le sens de variation de (un) est-il le même? Expliquer (on ne demande pas de prouver le résultat)
(l'annexe est à la dernière page: http://www.mimaths.net/~fil/IMG/pdf/ds1_ts_1314.pdf)
Ou j'en suis :
J'ai calculer U1=4, U2=10, U3=3√10 +4
J'ai aussi construit les 4 premiers terme de la suite Un et j'ai conjecturé que la suite est croissante mais je ne vois pas ce que veut dire "Quelles conjectures peut-on émettre sur les valeurs prises par les termes de la suite ?", il faut juste dire qu'elles sont positives ?
Pour la 3)a) J'ai commencé le raisonnement par récurrence :
Initialisation:
Pour n=0; U0=0 et Un+1=4
donc 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 16 et P(0) est vraie
Hérédité:
Supposons qu'il existe un entier q tel que P(q) soit vraie, c'est à dire 0 ≤ uq ≤ uq+1 ≤ 16
et là, je vois pas trop comment faire..
Bonjour, donc tu as su faire cette construction ?
oui la conjecture c'est que la suite est croissante et tend vers 12.
la récurrence oui et tu dois montrer que c'est encore vrai pour q+1 donc que 0 ≤ uq+1 ≤ uq+2 ≤ 16
tu sais que la fonction est croissante donc si 0 ≤ uq ≤ uq+1 ≤ 16 on a également f(0) ≤ f(uq) ≤ f(uq+1) ≤ f(16) mais f(0)=6 ; f(uq)=uq+1 ; f(uq+1)=uq+2 et f(16)=16
donc ça montre que c'est encore vrai pour q+1
Mais, on à le droit de résonner par récurrence avec une conjecture ?
Et pour l'expression de f(x), c'est bien f(x)=3√x +4?
Oui f(x)=3√(x +4)
Sauf si j'ai mal compris tes parenthèses et que ta suite était Un+1 = 3√un + 4 et donc f(x)=3√(x) + 4
Et dans ce cas la suite tend vers 16. C'est probablement plutôt ça. je suis tellement habitué à ce que les posteurs mettent les parenthèses n'importe comment que j'en ai vu où il n'y en avait pas.
Oui en effet, c'est ça, il n'y a pas de racine au dessus du 4, je trouve aussi 16 et c'est cohérent avec la question 3)a)
Donc, pour le résonnement par récurrence, on a bien le droit d'utiliser la conjecture de la question 2)c) ?
raisonnement, ça ne résonne pas.
non on n'utilise pas les conjectures, on les démontre. donc si ta conjecture est que la suite est croissante et tend vers 16, il faut maintenant que tu le démontres.
ce qui est en bonne voie si tu utilises bien ce que tu as démontré : 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 16
Ok, donc il suffit d'admettre comme hypothèse de récurrence que 0 ≤ uq ≤ uq+1 ≤ 16 et comme uq ≤ uq+1, la suite est croissante ?
ça 0 ≤ uq ≤ uq+1 ≤ 16 normalement on l'a démontré. (par récurrence c'est vrai).
donc oui on en déduit par exemple que uq+1-uq 
0 et donc que la suite est croissante.
Parfait, maintenant pour la 3)a) J'ai mis que cette démonstration nous permet de valider le fait que la suite soit croissante et qu'elle tend vers 16. C'est bien ça ? Parce que le "dans quelle mesure" est ambiguë
croissante d'accord, mais qu'elle tend vers 16, il faut encore le démontrer. je ne te l'ai pas vu faire.
La suite tend vers 16 car les deux courbes se croisent en ce point
Pour le prouver, il faut résoudre 3√x-4=x et ça donne 16 ?
Par contre, comment résoudre cette équation (je l'ai faite à la calculatrice)
il vaut mieux dire que la suite étant croissante et majorée par 16, elle converge. Appeler L cette limite.
Puis dire que si Un tend vers L alors Un+1 tend aussi vers L et passer la relation de récurrence à la limite
un+1 =3√un + 4 donne donc L = 3√L + 4 (on retrouve l'intersection de la droite y=x avec la fonction y=f(x))
Puis il faut résoudre, on isole la racine 
L-4 = 3√L, on élève au carré (L-4)²=9L
on développe L²-8L+16 = 9L 
L²-17L+16 = 0 on résout L=1 et L=16
L ne peut pas être égal à 1 car L-4 qui est une racine doit être positif donc seule L=16 est possible.
on en déduit que la suite converge vers 16.
Ok, j'ai compris ! 
Enfin, pour la dernière question, comme on ne me demande pas de justifier, je calcule U1 (19), U2 (environ 17,07) et j'en conclue que le sens de variation n'est plus le meme, il est décroissant ?
oui effectivement
ça montre bien que la croissance ou décroissante de la suite peut être différent de celle de la fonction. il suffit de prendre un u0 différent et ça suffit à changer le sens de variation de la suite.
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