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Suites : Expression de Un en fonction de n
Salut à tous.
Je suis actuellement en train de réviser les suites dans l'optique du bac.
Mais je constate que je n'arrive jamais à trouver les relations Un en fonction de n.
Je vous en poste quelques unes :
1°) (Un) est une suite géométrique de raison 3 et U1 = -2. Exprimer Un en fonction de n
2°) (Un) est définie pour tout entier supérieur ou égal à 1, par la relation de récurrence Un+1 = 4/10 - (3/10)Un et par U1 = a (réel donné). (Vn) est définie pour tout n supérieur ou égal à 1 par Vn = 13Un - 4. Exprimer Vn en fonction de n et a.
Y a-t-il une technique pour y arriver facilement ?
J'ai aussi une autre question sans rapport avec les suites :
Trouvez a et b tels que :
a+b = 4
ab = 1
En vous remerciant d'avance
Bonjour,
1)Utilise la formule :Si est une suite géométrique de raison r, alors pour tous les entiers n et p :
A plus 
>kib
tu reprends les cours ?
a+b=4 et ab=1 => a et b solutions de x²-4x+1=(x²-4x+4)-4+1=0 =>(x-2)²-3=0 (x-2)²=3 =>x-2=+/- V3 => x=2+/-V3
a=2+V3 et b=2-V3
Philoux
1°)
U(n) = -2*3^(n-1)
-----
2°)
U(n+1) = 4/10 - (3/10)U(n) et U1 = a
V(n) = 13U(n) - 4
V(n+1) = 13U(n+1) - 4
V(n+1) = 13.[4/10 - (3/10).U(n)] - 4
V(n+1) = 52/10 - (39/10).U(n) - 40/10
V(n+1) = 12/10 - (39/10).U(n)
V(n+1) = (3/10).[4 - 13.U(n)]
V(n+1) = -(3/10).(13U(n) - 4)
V(n+1) = -(3/10).V(n)
Et donc Vn est une suite géométrique de raison -(3/10) et de premier terme = V1 = 13U1 -4 = 13a - 4
On a donc: V(n) = (13a - 4).(-3/10)^(n-1)
--------------------------------
a+b = 4
ab = 1
a = 1/b
1/b + b = 4
1 + b² = 4b
b² - 4b + 1 = 0
Equation du second degré en b --->
b = 2 +/- V3 (V pour racine carrée)
Si a = 2+V3, b = 1/(2+V3) = (2-V3)/[(2+V3)(2-V3)] = (2-V3)/(4-3) = 2-V3
Si a = 2-V3, b = 1/(2-V3) = (2+V3)/[(2+V3)(2-V3)] = (2+V3)/(4-3) = 2+V3
On a donc 2 couples (a,b) solutions, ce sont (2+V3,2-V3) et (2-V3,2+V3).
-----
Sauf distraction.
Bon ben c'est ce que j'avais trouvé pour a+b et ab mais je croyais qu'il fallait des nombres entiers d'où le fait que je trouvais ça impossible...
merci bien !
L'idée pour le système
a+b=4
ab=1
c'est que a et b sont les racines du polynômes
X²-(a+b)X+ab
Ca se vérifie très bien.
On a plus qu'à remplacer
X²-4X+1
Les racines sont
(4-racine de 12)/2
(4+racine de 12)/2
C'est un exercice classique qui sert à illuster les formules de Viète, reliant les racines d'un polynôme et ses coefficients.
A+
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