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Suites limites

Posté par
aya4545
27-12-21 à 17:09

bojour
j ai besoin d aide pour terminer cet exercice
f(x)=e^x+x  definie sur \R^+
1) montrer que pour tout n de \N^*  l equation f(x)=n admet une solution unique u_n dans \R^+*
2)montrer que lim\frac{u_n}{n}=0 et en déduire que lim\frac{u_n}{ln(n)}=1
3) soit (v_n)_n\in \N une suite définie par v_n=ln(n)-u_n montrer que lim\frac{nv_n}{ln(n)}=1
ceque j ai fait
1)simple utilisation du theoreme des valeurs intermediaires

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites limites 27-12-21 à 17:58

Bonjour,
Pas évident le 2)
L'objectif est d'encadrer \dfrac{u_{n}}{n}
Une piste :
e^{u_{n}} + u_{n} = n permet de trouver une inégalité entre e^{u_{n}} et n

Posté par
aya4545
re : Suites limites 27-12-21 à 18:15

Salut
merci sylvieg   oui  on demontre facilement que  \frac{e^{un}}{n}<=1  reste à minorer  \frac{e^{un}}{n} par une suite qui converge vers 1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites limites 27-12-21 à 18:47

C'est \dfrac{u_{n}}{n} que l'on cherche à encadrer, pas \dfrac{e^{un}}{n}.
e^{u_{n}} \leq n permet de trouver une inégalité entre u_{n} et ln(n)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites limites 27-12-21 à 18:49

En fait, on peut l'obtenir directement à partir de f(ln(n)).

Posté par
aya4545
re : Suites limites 27-12-21 à 19:07

salut
1-\dfrac{e^{un}}{n}.=\dfrac{u_{n}}{n}
donc montrer lim\dfrac{u_{n}}{n} =0 revient a montrer que
lim\dfrac{e^{un}}{n}=1
ona \dfrac{e^{un}}{n}<=1  reste a minorer    \dfrac{e^{un}}{n} par une suite qui tend vers 1
et merci sylvieg

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites limites 27-12-21 à 19:21

Ma piste est différente :
f(ln(n)) = n + ln(n) n.
Or n = f(un) ; donc f(ln(n)) f(un)
D'où ln(n) un.
On peut en déduire un encadrement de \dfrac{u_{n}}{n}
qui permet de conclure pour la limite.

Posté par
aya4545
re : Suites limites 27-12-21 à 19:37

salut
votre piste est meilleur
0 <=\dfrac{u_{n}}{n}<=\frac{ln(n)}{n}   d apres theoreme de gendarme  ona le resultat  merci sylvieg

Posté par
aya4545
re : Suites limites 27-12-21 à 20:07

salut
f(ln(n)=n=ln(n)>=n=f(un) donc  \frac{un}{ln(n)}<=1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites limites 27-12-21 à 20:47

Une coquille :
f(ln(n)) = n + ln(n) n = f(un)

Posté par
aya4545
re : Suites limites 27-12-21 à 23:27

salut
puisque lim \dfrac{u_{n}}{n}=0 Donc lim \dfrac{e^{un}}{n}=1   car  (e^{u_{n}} + u_{n} = n)  
or  lim \frac{e^{un}}{n}=lim \frac{e^{un}}{e^{ln(n)}}=lim e^{un-ln(n)}=1  donc  lim(un-ln(n))=0
jai demontré en utilisant la definition de la limite que si   lim(un-vn)=0 alors lim\frac{un}{vn}=1 d ou  lim\frac{un}{ln(n)}=1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites limites 28-12-21 à 08:53

Bonjour,
D'accord, mais inutile de revenir à la définition de limite.
Et éviter les égalités avec des "lim" inutiles.

 \dfrac{e^{un}}{n}= \dfrac{e^{un}}{e^{ln(n)}}= e^{un-ln(n)} \; et \; lim \dfrac{e^{un}}{n}=1 donc  lim(un-ln(n))=0

\dfrac{u_{n}}{ln(n)} = \dfrac{u_{n}-ln(n)}{ln(n)} +1 \; donc \; lim \dfrac{u_{n}}{ln(n)} = ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites limites 28-12-21 à 08:58

Attention ceci est faux :

Citation :
si  lim(un-vn)=0 alors lim\frac{un}{vn}=1
Contre exemple : un = 1/n et vn = 1/n2

Posté par
aya4545
re : Suites limites 28-12-21 à 11:45

bonjour
effectivement c est faux
mais si i l une des deux suites est minorée  

Posté par
aya4545
re : Suites limites 28-12-21 à 12:23

bonjour
je n arrive pas a detecter l erreur  dans ce raisonnement :
  lim(un-ln(n))=0  et  \frac{un}{vn}=\frac{un-vn}{vn}+1 donc   lim\frac{un}{vn}=1

Posté par
aya4545
re : Suites limites 28-12-21 à 12:40

Salut
ah oui je lai trouvée   lim(un-vn)=0   ca n implique pas  que
  (un-vn)=0              
    (un-vn)=\frac 1 n     par exemple)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites limites 28-12-21 à 13:33

Le problème, c'est si (vn) a comme limite 0.
Plus généralement, si (1/vn) n'est pas bornée.



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