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Suites/limites

Posté par
Devoirs33 26-11-22 à 09:36

Bonjour,

J'aimerais de l'aide concernant cet exercice s'il vous plaît, merci.

Soit C un demi-cercle de diamètre [AB] avec AB = 10cm. On partage progressivement le segment [AB] en deux, trois, ... segments de longueur identiques. A chaque étape, on construit des demi-cercles sur les segments obtenus et on s'intéresse à l'aire colorée. On note 𝑎𝑛 l'aire du domaine gris à la n-ième étape.
Suites/limites
1) Donner l'expression explicite de la suite (𝑎𝑛 )
2) Quel est la limite de la suite ?

On sait que : A = pi * r²
Demi-cercle : (pi*r²) / 2
1er image ( demi cercle ) = (pi*5²)/2 = 25pi/2

2ème image : A = 25pi/2 - pi * 2,5² .

an = a0 * q^n
Je n'arrive pas à continuer à partir de là.
Merci.

Posté par
heklare : Suites/limites 26-11-22 à 10:09

Bonjour

A=\pi \times r^2

A_0=0 pas de parties grises

A_1 : rayon \dfrac{5}{2} Aires blanches 2\times\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{5}{2}\right)^2\times \pi

A_1=\dfrac{25\pi}{2}-\dfrac{25\pi}{4}=\dfrac{25\pi}{4}

A_2 rayons des cercles \dfrac{5}{6} Aires blanches \dfrac{3}{2}\times \left(\dfrac{5}{6}\right)^2\times \pi

A_2= \dfrac{25\pi}{2}-\dfrac{25\pi}{24}=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{24}\right)\times 25\pi=\dfrac{11}{24}\times 25\pi

Que donne le terme suivant ?

Posté par
heklare : Suites/limites 26-11-22 à 10:19

Ne tenez pas compte du précédent pour A_2


A_2 rayons des cercles \dfrac{5}{3} Aires blanches \dfrac{3}{2}\times \left(\dfrac{5}{3}\right)^2\times \pi

A_2= \dfrac{25\pi}{2}-\dfrac{25\pi}{6}=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}\right)\times 25\pi=\dfrac{1}{3}\times 25\pi

Que donne le terme suivant ?

Posté par
Devoirs33re : Suites/limites 26-11-22 à 10:32

je ne comprends pas pourquoi le rayon de A2 est de 5/3

Posté par
heklare : Suites/limites 26-11-22 à 10:36

Le diamètre de chaque demi-cercle est \dfrac{10}{3}  puisque vous partagez [AB] en trois.
Par conséquent, le rayon de chaque demi- cercle est donc \dfrac{1}{2}\times \dfrac{10}{3}= \dfrac{5}{3}

Posté par
Devoirs33re : Suites/limites 26-11-22 à 10:56

A3 : r = 5/4 aire partie blanche = 4/2 * (5/4)² * pi
A3 = 35pi/2 - 25pi/8 = (1/2 - 1/8) * 25pi
= 3/8 * 25pi

Posté par
heklare : Suites/limites 26-11-22 à 11:03

Oui

Maintenant, vous refaites ce calcul avec n demi-cercles

Une faute de frappe 35 au lieu de 25, sans conséquence.

Posté par
Devoirs33re : Suites/limites 26-11-22 à 11:11

an = 25pi/2 - bn(partie blanche)
an = 25pi/2 - 25pi/2 * 1 / n+1

Posté par
heklare : Suites/limites 26-11-22 à 11:12

Il faudrait simplifier, effectuer la soustraction.

Posté par
Devoirs33re : Suites/limites 26-11-22 à 11:15

an = 25pi/2 - 25pi/2 * 1 / n+1
an = 25pi/2 * (1-1/n+1)
an =25pi/2 * n/n+1

Posté par
heklare : Suites/limites 26-11-22 à 11:17

A_n=\dfrac{25\pi}{2}-\dfrac{n}{2}\left(\dfrac{5}{n}\right)^2\times \pi

Comment pouvez-vous avoir\dfrac{1}{ n+1}

Posté par
Devoirs33re : Suites/limites 26-11-22 à 11:24

An = 25pi/2 - n/2 * 25/n*pi

Posté par
heklare : Suites/limites 26-11-22 à 11:46

Non, vous aviez raison

Je pense avoir compris pourquoi.  Nous n'avons pas la même appellation.

J'ai appelé A_n l'aire à la n-1-ième étape, et vous à la n étape, comme il était indiqué.  

pour A_1,  première étape, on coupe en 2  soit 1+1

pour A_2,  deuxième étape, on coupe en 3  soit 2+1

pour A_n,  n_ième étape, on coupe en n+1  


A_n=\dfrac{25\pi}{2}-\dfrac{n+1}{2}\left(\dfrac{5}{n+1}\right)^2\times \pi

A_n=\dfrac{25\pi}{2}\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)=\dfrac{25\pi}{2}\left(\dfrac{n}{n+1}\right)

Excusez

Posté par
Devoirs33re : Suites/limites 26-11-22 à 11:59

D'accord, merci.

b) La limite de an est 25pi/2
car lim 25pi/2 = 25pi/2 et lim (n/n+1) = 1

Posté par
heklare : Suites/limites 26-11-22 à 12:08

Oui, Bien

Il est plus intéressant (joli) de simplifier pour A_n mais reprendre l'autre forme pour la limite

\displaystyle \lim_{n\to +\infty}A_n=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{25\pi}{2}\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{25\pi}{2}\times \lim_{n\to +\infty} \left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)=\dfrac{25\pi}{2}\times 1

Posté par
Devoirs33re : Suites/limites 26-11-22 à 12:11

Merci beaucoup pour votre aide.

Posté par
heklare : Suites/limites 26-11-22 à 12:27

De rien


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